Por comodidad, definamos 3 matrices simétricas que aparecen repetidamente a lo largo de la derivación $$\eqalign{ S &= A+A^T \cr Y &= X^TCX &\implies dY=2\,{\rm sym}(X^TC\,dX) \cr M &= Y^{-1}SY^{-1}\cr }$$ La diferencial de la inversa de una matriz es un resultado bien conocido
$$\eqalign{ dY^{-1} &= -Y^{-1}\,dY\,Y^{-1}\cr }$$ Dos apuntes finales.
El producto trace/Frobenius es $\,\,A:B={\rm tr}(A^TB)$
El operador sym es $\,\,{\rm sym}(A)=\frac{1}{2}(A+A^T)$
Reescribamos la función y encontremos su diferencial y luego su gradiente $$\eqalign{ \phi &= S:Y^{-1}CXY^{-1} \cr d\phi &= S:Y^{-1}C\,dX\,Y^{-1} + S:dY^{-1}CXY^{-1} + S:Y^{-1}CX\,dY^{-1} \cr &= CY^{-1}SY^{-1}:dX - S:(Y^{-1}\,dY\,Y^{-1})CXY^{-1} + S:Y^{-1}CX(Y^{-1}\,dY\,Y^{-1}) \cr &= CM:dX - M:dY\,Y^{-1}CX - M:CXY^{-1}\,dY \cr &= CM:dX - MX^TCY^{-1}:dY -Y^{-1}X^TCM:dY \cr &= CM:dX - (MX^TCY^{-1}+Y^{-1}X^TCM):dY \cr &= CM:dX - (MX^TCY^{-1}+Y^{-1}X^TCM):2\,{\rm sym}(X^TC\,dX) \cr &= CM:dX - 2\,{\rm sym}(MX^TCY^{-1}+Y^{-1}X^TCM):X^TC\,dX \cr &= \Big(CM - 2\,CX\,{\rm sym}(MX^TCY^{-1}+Y^{-1}X^TCM)\Big):dX \cr G=\frac{\partial\phi}{\partial X} &= CM - 2\,CX\,{\rm sym}(MX^TCY^{-1}+Y^{-1}X^TCM) \cr\cr }$$ Sea $B=(CX+X^TC)$ y utilizarlo para simplificar aún más la expresión del gradiente $$\eqalign{ G &= C\Big(M - XMBY^{-1} - XY^{-1}BM\Big) \cr\cr }$$