Encontrar la ecuación para la solución de la ecuación diferencial.

Question

Por favor, ayúdenme a resolver este problema:

Ecuación diferencial $y''+p(x)y=0$ tiene solución distinta de cero $f(x)$ . Hallar la ecuación de la función $z(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ .

Mis ideas:

Sólo veo que $z(x) = \ln(y(x))'$ . He intentado expresar esta función en términos de $p(x)$ pero fracasó.

¿Pueden ayudarme con el problema? Muchas gracias.

Actualización: Después de la pista dada por A.. fue trivial demostrar que la ecuación requerida es $z'+z^2+p=0$ . ¡Muchas gracias por tu ayuda, A..!

Answer 1

Sugerencia: Si $f'=z\cdot f$ entonces $f''=z'\cdot f+z\cdot f'=z'\cdot f+z^2\cdot f$ entonces $$ 0=f''+p\cdot f=\ldots $$