$f(x)=x$ Si $x$ irracional y $f(x)=p\sin\frac1q$ si $x$ racional

Question

Definir el valor real de la función de $f$ $\mathbb{R}$ mediante el establecimiento $f(x)=x$ si $x$ es irracional, y $f(x)=p\sin\frac1q$ si $x=\frac{p}q$ está escrito en términos mínimos. ¿En qué puntos es $f$ continua?

Estoy bastante seguro de $f$ es continua en ningún punto. Para cualquier punto de $x$, podemos encontrar $\frac{p}q$ que muy cerca de $x$, pero tal que el valor de $p\sin\frac1q$ está en ninguna parte cerca de $x$. Por ejemplo, si $x=0$,$f(x)=0$, y podemos elegir el $y$ como algo parecido a $\frac{34567}{10000000000}$, de modo que su valor está muy cerca de a $x$, pero $\frac{p}{q}$ es raro estar cerca de $x$. Pero ya que el valor de $\sin\frac{1}{q}$ fluctúa, yo soy incapaz de convertir esto en una rigurosa prueba.

Answer 1

Deje $x \in \mathbb{Q}^+$. Uno puede mostrar que $f(x) < x$. Deje $\epsilon = x - f(x)$. Para cualquier $\delta > 0$, se puede elegir un número irracional $y$ tal que $x < y < x + \delta$. $f(y) - f(x) = y - f(x) > x - f(x) = \epsilon$. Por lo tanto $f$ no es continua en a $x$.

Para $x \in \mathbb{Q}^-$, tenga en cuenta que $f(-x) = -f(x)$, y la negación de una función no afectan a la continuidad.

Para $x = 0$, queremos encontrar a $\delta$ de manera tal que, si $|y - 0| < \delta$,$|f(y) - f(0)| < \epsilon$. Deje $\delta = \epsilon$. Desde $|f(y)| \le |y|$, esta es una buena opción de $\delta$. Nuestro argumento para racionales no funciona, debido a que $f(x) \not< x$.

$f$ debe ser continua en irrationals, pero no puedo concretar algo riguroso. De manera informal: un pequeño $\delta$ significa que todos los $y = p/q$ que son menos de $\delta$ $x$ tendrá un gran $q$. Esto hace que $f(y)$ muy cerca de $y$, y tan sólo tenemos que elegir un $\delta$, ligeramente más pequeño que nuestra $\epsilon$. Creo que habría obligado a $f(y) - y$ algún lugar para mostrar que. (Serie de Taylor?)

Así que el argumento sería algo como esto: elegir un arbitrario $\epsilon$, determinar una lo suficientemente grande como $q$, determinar un $\delta$ tal que $(x - \delta, x + \delta)$ no contiene ningún menor $q$s. El "lo suficientemente grande como $q$" tengo problemas con.

EDIT: Creo que tengo algo riguroso.

En primer lugar, vamos a encontrar un límite en $|f(y) - y|$. Por serie de Taylor,

$$\sin{\frac{1}{q}} = \frac{1}{q} - \frac{1}{3! \cdot q^3} + \frac{1}{5! \cdot q^5} - \frac{1}{7! \cdot q^7} + \cdots$$

Podemos truncar este y poner un límite en el error:

$$\sin{\frac{1}{q}} = \frac{1}{q} + R(x), \quad |R(x)| \le 1 \frac{(1/q)^2}{2!} = \frac{1}{2q^2}$$

Por lo tanto, $|\sin{\frac{1}{q}} - \frac{1}{q}| \le \frac{1}{2q^2} \implies |p\sin{\frac{1}{q}} - \frac{p}{q}| \le \frac{p}{2q^2} \implies |f(\frac{p}{q}) - \frac{p}{q}| \le \frac{p}{2q^2}$

Elegir un arbitrario $\epsilon > 0$. Queremos encontrar un "suficientemente grande" $q$. Si nos restringimos $\delta < 1$, entonces sabemos que $\frac{p}{q} < x + 1$. A continuación,$|f(\frac{p}{q}) - \frac{p}{q}| \le \frac{p}{2q^2} < \frac{x + 1}{2q}$. Si $q > \frac{x + 1}{2\epsilon}$,$|f(\frac{p}{q}) - \frac{p}{q}| < \epsilon$. Así que tomamos la distancia de $x$ a la más cercana racional con denominador $\lceil \frac{x + 1}{2\epsilon} \rceil$, y que sea ese $\delta$ (o $1$, el que sea menor).