Demostrar que la función $f(z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{1+z^n}, \quad |z|>1,$ es holomorfa.

Question

He intentado resolver el siguiente problema y me gustaría recibir comentarios (correcciones, sugerencias de mejora o una forma mejor).

Demostrar que la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{1+z^n}$ converge para $|z|>1$ y que la función $$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{1+z^n}, \quad |z|>1,$$ es holomorfa.

\textbf {Solución:}

Para $|z|>1$ observamos que $|z^n| -1 \leq |1+ z^n| \leq |z^n| + 1$ lo que implica $$\dfrac{1}{|z|^n -1} \geq \dfrac{1}{|1+ z^n|} \geq \dfrac{1}{|z|^n + 1}.$$ Dejar $r=|z|$ observamos que por la prueba de comparación de series, $$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{r^{n+1}+1}}{\dfrac{1}{r^n+1}} &=& \lim_{n \to \infty} \dfrac{r^n+1}{r^{n+1}+1} \\ &=& \lim_{n \to \infty} \dfrac{r^n}{r^{n+1}} \\ &=& \dfrac{1}{r} \\ &<&1, \ \text{since} \ r>1, \end{eqnarray}$$ que es convergente. También, $$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{r^{n+1}-1}}{\dfrac{1}{r^n-1}} &=& \lim_{n \to \infty} \dfrac{r^n-1}{r^{n+1}-1} \\ &=& \lim_{n \to \infty} \dfrac{r^n}{r^{n+1}} \\ &=& \dfrac{1}{r} \\ &<&1, \ \text{since} \ r>1, \end{eqnarray}$$ que es convergente. Así que por la Sandwich" or Teorema del "estrujón"", $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{|1+ z^n|}$$ converge. Por lo tanto $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{1+ z^n}$ converge ya que converge absolutamente para $|z|>1$ .

Para demostrar que $f(z)$ es holomorfa podemos demostrar que $f(z)$ es diferenciable en la región $G$ y aplicar el teorema de Goursat o podemos demostrar que $f(z)$ es continua en $G$ y para cada trayectoria cerrada $C$ sur $G$ , $\int_C f(z) \ dz = 0$ .

Tengo dificultades para mostrar $f(z)$ es puntualmente continua. Para cada $\varepsilon > 0$ existe en $\delta > 0$ tal que $$|f(z)-f(z_0)| < \varepsilon, \quad \text{ if } \ |z-z_0| < \delta.$$

$$\begin{eqnarray} |f(z)-f(z_0)| &=& \left| \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{1+z^n} - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+z_0^n}\right| \nonumber \\ &=& \left| \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{1+z^n} - \frac{1}{1+z_0^n}\right| \nonumber \\ &=& \left| \sum_{n=0}^\infty \dfrac{z_0^n-z^n}{(1+z^n)(1+z_0^n)}\right| \nonumber \\ &\leq& \sum_{n=0}^\infty \left|\dfrac{z_0^n-z^n}{(1+z^n)(1+z_0^n)}\right| \nonumber \\ &=& \sum_{n=0}^\infty \left|\dfrac{(z_0-z)(z_0^{n-1}+z_0^{n-2}z+z_0^{n-3}z^2+ \cdots + z_0z^{n-2} +z^{n-1})}{(1+z^n)(1+z_0^n)}\right| \nonumber \\ &=& \sum_{n=0}^\infty |z_0-z| \cdot \left|\dfrac{(z_0^{n-1}+z_0^{n-2}z+z_0^{n-3}z^2+ \cdots + z_0z^{n-2} +z^{n-1})}{(1+z^n)(1+z_0^n)}\right| \nonumber \\ &<& \sum_{n=0}^\infty \delta \cdot \left|\dfrac{(z_0^{n-1}+z_0^{n-2}z+z_0^{n-3}z^2+ \cdots + z_0z^{n-2} +z^{n-1})}{(1+z^n)(1+z_0^n)}\right| \nonumber \\ &=& \delta \cdot\sum_{n=0}^\infty \left|\dfrac{(z_0^{n-1}+z_0^{n-2}z+z_0^{n-3}z^2+ \cdots + z_0z^{n-2} +z^{n-1})}{(1+z^n)(1+z_0^n)}\right| \nonumber \\ &\leq & \delta \cdot\sum_{n=0}^\infty \dfrac{|z_0^{n-1}|+|z_0^{n-2}z|+|z_0^{n-3}z^2|+ \cdots +| z_0z^{n-2}| + |z^{n-1}|}{(|z^n|-1)(|z_0^n|-1|)} \nonumber \\ &= & \delta \cdot\sum_{n=0}^\infty \dfrac{|z_0^{n-1}|+|z_0^{n-2}||z|+|z_0^{n-3}||z^2|+ \cdots +| z_0||z^{n-2}| + |z^{n-1}|}{(|z^n|-1)(|z_0^n|-1|)} \nonumber \\ &\leq & \delta \cdot\sum_{n=0}^\infty \dfrac{|z_0^{n-1}|+|z_0^{n-2}|(|z_0|+\delta) +|z_0^{n-3}|(|z_0|+\delta)^2+ \cdots +| z_0|(|z_0|+\delta)^{n-2} + (|z_0|+\delta)^{n-1}}{((|z_0|+\delta)^{n}-1)(|z_0^n|-1|)} \nonumber \\ &< & \delta \cdot\sum_{n=0}^\infty \dfrac{2n \cdot (|z_0|+\delta)^{n-1}}{(|z_0|^n-1|)^2} \nonumber \\ &=& \delta \cdot M \nonumber \\ &<& \varepsilon \end{eqnarray}$$ Llamo $M$ la suma a la que converge la serie (por la prueba de relación de series). ¿Hay alguna forma mejor de demostrar que $f(z)$ ¿es puntualmente continua?

Para utilizar el teorema de Morera, necesitamos demostrar la convergencia uniforme de $f(z)$ . Pero también tuve problemas con eso.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

¡Es un trabajo duro! Toma $R>1$ y considerar $U=\{z:|z|>R\}$ . En $U$ , $$\left|\frac{1}{1+z^n}\right|\le\frac{1}{R^n-1}\le\frac{R^{-n}}{1-1/R}$$ (para $n\ge1$ ). Así pues $U$ la serie es uniformemente convergente, y la suma es por tanto holomorfa en $U$ .