Hallar el volumen V delimitado por la superficie

Question

$\sqrt[3]{ x^2}+\sqrt[3]{ y^2}+\sqrt[3]{ z^2}=1$

Pruebo esta sustitución $x={u}^3$ , $y={v}^3$ y $z={k}^3$ y obtengo esfera con radio 1

Answer 1

Sea $x=r\sin^3\alpha\cos^3\beta$ , $y=r\sin^3\alpha\sin^3\beta$ y $z=r\cos^3\alpha$ .

Así, $J=9r^2\sin^5\alpha\cos^2\alpha\sin^2\beta\cos^2\beta$ y el volumen que $$9\int_{0}^1r^2dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^5\alpha\cos^2\alpha d\alpha\int_{0}^{2\pi}\sin^2\beta\cos^2\beta d\beta=\frac{4\pi}{35}$$ Sobre el jacobiano, véase aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant