Límite de $P(X_n > a_n)$ donde $X_n \xrightarrow[n \to \infty]{d} X \sim{N(\mu,\sigma^2)}$ y $a_n\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$

Question

He estado trabajando en el siguiente problema y podría necesitar ayuda.

Sea $X_n$ sea una secuencia de RV con $$X_n \xrightarrow[n \to \infty]{d} X \sim{N(\mu,\sigma^2)}$$ para algunos $\mu \in \mathbb{R}$ y $\sigma^2 >0.$ Sea $a_n$ sea una sucesión de números reales con $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.$ Me gustaría demostrar que $$P(X_n > a_n) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$$

¿Es eso cierto? Se mantiene para el límite RV $X$ por supuesto pero no estoy tan seguro si lo hace para $X_n$ también, sin saber más sobre la velocidad de convergencia de $X_n$ . Mi problema es que necesito la declaración para una secuencia $a_n$ que tiende a infinito arbitrariamente lento.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por cada $x$ la distribución límite es continua en $x$ de ahí $P(X_n\gt x)\to1-\Phi(x)$ . Existe un $N$ tal que $a_n\geqslant x$ para cada $n\geqslant N$ de ahí $$\limsup_{n\to\infty}P(X_n\gt a_n)\leqslant\lim_{n\to\infty}P(X_n\gt x)=1-\Phi(x).$$ Esto es válido para cada $x$ de ahí $$\limsup_{n\to\infty}P(X_n\gt a_n)\leqslant\inf\limits_x(1-\Phi(x))=0.$$ Cada $P(X_n\gt a_n)$ es no negativo, por lo que la desigualdad anterior demuestra que el límite existe y es cero.

Answer 2

La convergencia en la distribución $X_n\overset{d}\longrightarrow X$ se define como $$P(X_n \le x) \underset{n \to \infty}\longrightarrow P(X\le x)$$ para cada punto de continuidad de $F_X(x):=P(X\le x)$ . Por lo tanto $$P(X_n>a_n)=1-P(X_n\le a_n) \underset{n \to \infty}\longrightarrow 1- P(X\le \infty)=1-1=0$$