Supongamos que el coeficiente de correlación entre $x$ y $y$ se indica mediante $R$ y que entre $x$ y $(y+x)$ por $R_1$

Question

¿Cómo vamos a juzgar si $R$ y $R_1$ están relacionados y, si lo están, ¿cómo?

Answer 1

$R$ y $R_1$ están relacionados, y he aquí cómo:

$\newcommand{\E}{\mathrm{E}}$ $\newcommand{\var}{\mathrm{Var}}$ $\newcommand{\cov}{\mathrm{Cov}}$ $$R=\frac{\cov(x,y)}{\sqrt{\var(x)\var(y)}}$$

$$R_1=\frac{\cov(x,x+y)}{\sqrt{\var(x)\var(x+y)}}=\frac{\var(x)+\cov(x,y)}{\sqrt{\var(x)\big(\var(x)+\var(y)+2\cov(x,y)\big)}}$$

Vemos que ambos pueden calcularse a partir del mismo conjunto de 3 estadísticos: las varianzas de $x$ y $y$ y la covarianza entre $x$ y $y$ .