Campos vectoriales no evanescentes en el toroide 2

Question

¿Puede construir explícitamente varios campos vectoriales no evanescentes en el toroide 2 $S^1 \times S^1$ ? ¿Cómo se pueden construir campos vectoriales no nulos en este caso concreto? Gracias de antemano.

Answer 1

En general, en cualquier múltiple, dados dos campos vectoriales independientes cualesquiera, se pueden tomar combinaciones lineales de ellos para obtener muchos otros.

Así pues, tomemos el campo vectorial $\frac{d}{d\theta}$ apuntando a lo largo del primer círculo, y el campo vectorial $\frac{d}{d\phi}$ apuntando a lo largo del segundo círculo. Ahora forme combinaciones lineales $r \cdot \frac{d}{d\theta} + s \cdot \frac{d}{d\phi}$ para obtener infinitos campos vectoriales en ninguna parte cero.

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Añadido: Ejemplos ilustrados:

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Answer 2

Pista: Piensa en uno de los dos círculos canónicos del toroide y cómo puedes foliar un toroide con él.