Uso del teorema del residuo para calcular la integral

Question

Para $$I=\int_{|z|=1}{z^m \cos\left(\frac{1}{z}\right)}\,dz$$ donde $m=0,1,2...$

¿Es la singularidad $z=0$ ¿o hay otras singularidades?

si es $z=0$ ¿Cuál es el orden de los polos?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$I=\int_{|z|=1}{z^m \cos\left(\frac{1}{z}\right)}\,dz =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\int_{\lvert z\rvert=1}z^{m-2n}\,dz,$$ y que $$\int_{\lvert z\rvert=1}z^{m-2n}\,dz=\left\{ \begin{array}{ccc} 2\pi i & \text{if} & m-2n=-1,\\ 0 & \text{if} & m-2n\ne-1. \end{array}\right.$$ Por lo tanto, si $m$ es par, entonces $I=0$ mientras que si $m=2k-1$ entonces $$I=\frac{2\pi i(-1)^k}{(2k)!}.$$

Answer 2

$z=0$ es la única singularidad, y no es un polo.

Answer 3

Sea $z=1/\zeta$ entonces la integral es igual a

$$-\int_{|\zeta|=1} d\zeta \frac{\cos{\zeta}}{\zeta^{m+2}}$$

que, por el teorema de Cauchy, es

$$\frac{i 2 \pi}{(m+1)!} \left [\frac{d^{m+1}}{d\zeta^{m+1}} \cos{\zeta}\right ]_{\zeta=0} = \begin{cases} 0 & m \; \text{even} \\ \displaystyle \frac{i 2 \pi (-1)^{\frac{m+1}{2}}}{(m+1)!} & m \; \text{odd}\end{cases}$$

Obsérvese que, al sustituir, atravesamos el círculo en sentido contrario; así, multiplicamos por $-i 2 \pi$ .