Continuidad de funciones de dos variables

Question

Encuentre los puntos en los que la función $f(x,y)$ es continua donde
$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2} & \mbox{if $(x,y)\not=(0,0)$};\\ 0 & \mbox{if $(x,y)=(0,0)$}.\end{array} \right.$$

Lo que intenté: Aquí $f(x,y)$ es continua en todos los puntos $(x,y)\not=(0,0)$

Comprobaremos la continuidad en el punto $(x,y)=(0,0)$

$f(x,y)=0$ está bien definida. Ahora,

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2}$$

Aquí $0\le \frac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2}\le \frac{x^2y^2}{x^2+2y^2}$ (Como $\sin^2y \le y$ ) [¿Estoy en lo cierto?]

Si dejamos que $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ entonces $$\frac{x^2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{r^2 \cos^2\theta r^2 \sin^2\theta}{r^2+r^2 \sin^2\theta}=\frac{r^2 \sin^2\theta \cos^2\theta }{1+\sin^2\theta}\le r^2$$ (Como $\frac{\sin^2\theta}{1+\sin^2\theta}\le1$ , $\cos^2\theta\le 1$ )

En $(x,y)\to (0,0)$ , $r\to 0$ . Por lo tanto utilizando el Teorema de Sandwich deberíamos tener $$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2}=0$$
Por lo tanto, es continua en $(0,0)$ .

La pregunta me la hicieron en una entrevista y utilicé la técnica anterior. Sin embargo, no señalaron mi error, sino que se limitaron a plantear otro problema de tipo similar en el que $f(x,y)=\frac{x^2+\sin^2y}{2x^2+y^2}$ para todos $(x,y) \not= (0,0)$ y $0$ para el origen. Intenté el mismo método pero fallé. Entonces me pidieron que me fuera.

Answer 1

Sea $f(x)=\sin^2 x$ y $g(x)=x$ . Observe $f(0)=g(0)=0$ . Además, $f'(x)=2\sin x \cos x=\sin(2x)$ y $g'(x)=1$ . Pero $f'(x)=\sin(2x) \leq 1=g'(x)$ . Por lo tanto, $f(x) \leq g(x)$ pour $x \geq 0$ . Así que tu desigualdad es correcta.

Pero esto está complicando demasiado las cosas. Este es un problema del Teorema del Apriete "a la inversa", es decir, mientras que se tiende a eliminar la función trigonométrica acotada, aquí se acota el resto. Observa que $x^2 \leq x^2 + 2y^2$ tenemos $\dfrac{x^2}{x^2+2y^2} \leq 1$ . Por lo tanto, $$ 0 \leq \dfrac{x^2\sin^2 y}{x^2+2y^2} = \dfrac{x^2}{x^2+2y^2} \cdot \sin^2 y \leq \sin^2y $$ y $\sin^2 y \to 0$ como $(x,y) \to (0,0)$ . Por lo tanto, por el Teorema de Squeeze, $\dfrac{x^2\sin^2 y}{x^2+2y^2} \to 0$ como $(x,y) \to (0,0)$ . Obsérvese que también se quiere decir que la función es continua en otra parte. A saber, $x^2 \sin^2 y$ y $x^2+2y^2$ son funciones continuas para $(x,y) \neq (0,0)$ y por lo tanto $\dfrac{x^2\sin^2 y}{x^2+2y^2}$ es una función continua para $(x,y) \neq (0,0)$ . Por lo tanto, la función $f(x,y)$ es continua en todo $\mathbb{R}^2$ .

Answer 2

He aquí la respuesta a la segunda pregunta: $\frac {x^{2}+\sin ^{2} (y)} {2x^{2}+y^{2}}$ est $\frac 1 2$ cuando $y=0$ y $\frac {\sin ^{2} (y)} {y^{2}}$ cuando $x=0$ . La última expresión se aproxima a 1 a medida que $y \to 0$ . Por lo tanto, la función ni siquiera tiene un límite como $(x,y) \to 0$ y la función no es continua.