¿Existe siempre un punto límite?

Question

Mi instructor demuestra una afirmación durante una conferencia: si un conjunto $E$ es abierto en un espacio métrico $X$ entonces $E^c$ está cerrado.

En su prueba, escribe: Supongamos $E$ está abierto. Queremos demostrar que $E^c$ es cerrado (contiene todos sus puntos límite). Sea $x$ sea un punto límite de $E^c$ . A continuación......

Mi pregunta es cómo saber que existe un punto límite en $E^c$ ? Gracias.

Answer 1

La demostración es correcta, pero no establece explícitamente la situación en la que el conjunto de puntos límite está vacío, partiendo de tal punto límite. Una reformulación, sólo para hacerlo más claro para el OP, sería : Sea $S$ sea el conjunto de puntos límite de $E^c$ . Queremos demostrar que $S$ es un subconjunto de $E^c$ .

Si $S$ es vacío, entonces el conjunto vacío está contenido en todo conjunto, por lo que $S \subset E^c$ y $E^c$ contiene todos sus puntos límite. (Enunciado explícito del caso vacío)

Si no es así, que $x \in S$ sea un punto límite de $E^c$ . Entonces , continúe como en la prueba indicada.

Así que $x \in E^c$ . En consecuencia $S \subset E^c$ y por lo tanto $E^c$ está cerrado.

Answer 2

Quiere demostrar que $(E^c)' \subseteq E^c$ . Donde para un conjunto $A$ , $A'$ denota el conjunto de sus puntos límite.

Para mostrar una inclusión $A \subseteq B$ normalmente dejamos que $x$ sea un elemento arbitrario de $A$ y mostrar que debe estar en $B$ . Si no hay elementos en $A$ esto es vacuamente cierto así que no hay problema.

Así pues, comenzamos por dejar que $x$ sea un punto arbitrario de $(E^c)'$ . Si no existe tal punto, estamos acabados de todos modos. ("nada que hacer")