Determinante de $2 \times 2$ matriz de bloques

Question

¿Cómo hallar el determinante de la siguiente matriz de bloques?

$$\begin{bmatrix} A & A \\ A & kI \end{bmatrix}$$

Toma, $A$ es cualquier matriz cuadrada, $I$ es una matriz identidad y $k$ es cualquier constante.

Answer 1

$$\begin{bmatrix} A & A \\ A & kI \end{bmatrix}$$

es equivalente a la siguiente matriz de bloques

$$\begin{bmatrix} A & A \\ 0 & kI-A \end{bmatrix}$$

que ahora es una matriz triangular bloque con determinante

$$\det(A) \det(kI-A)$$

Answer 2

O escriba su matriz así $$\left(\begin{array}{cc} A & A \\ A & kI \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{k}A \\ A-kI & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ kI & kI \end{array}\right)$$ Entonces las propiedades de los determinantes dan $$\det\left(\left(\begin{array}{cc} A & A \\ A & kI \end{array}\right)\right)=\frac{1}{k}\det(A-kI)\det(A)k=\det(A-kI)\det(A)$$