El mayor valor propio real de una matriz es mayor que 1

Question

Tengo un problema interesante: dada una matriz real $A_{n\times n}$ cuando esta matriz tiene un mayor valor propio real que es estrictamente mayor que 1. Si es posible, ¿puede dar algunas condiciones que puedan garantizar esta afirmación? Equivalentemente, esta afirmación dice que la entropía del subdesplazamiento de tipo finito es estrictamente mayor que 0.

Answer 1

El teorema más famoso que conozco en este sentido es el Teorema de Perron-Frobenius . He aquí un breve resumen: Si todas las entradas de una matriz son números reales positivos (o si la matriz es irreducible con entradas reales no negativas), entonces el radio espectral de la matriz se alcanza mediante un valor propio real positivo $r$ . Además, $r$ no es menor que la menor suma de filas de $A$ . Por fin, $r$ se puede encontrar eficientemente usando algún tipo de iteración de potencia ya que es el valor propio correspondiente al único vector propio con todas las coordenadas positivas.