una simple pregunta de teoría de medidas (de deberes)

Question

Sea X una variable aleatoria positiva independiente de un movimiento browniano estándar B. Sea $M_t = B_{tX}$ para t > 0. Suponemos que la variable aleatoria X es $F_t$ medible para todo t $\geq$ 0, requieren mostrar: $M_t$ se adapta a la filtración $(F_t)$ .

La pregunta no me dice qué $(F_t)$ . Supongo que es la filtración generada por B ?

Answer 1

Si $\mathcal F_t=\sigma(B_s;0\leqslant s\leqslant t)$ esto es obviamente falso: toma $X=2$ con toda probabilidad, entonces $M_t=B_{2t}$ no es medible con respecto a $\mathcal F_t$ (excepto cuando $t=0$ ).