La demostración del teorema de Cauchy en estas notas http://people.math.gatech.edu/~cain/invierno99/ch5.pdf se basan en el concepto de homotopía. Pero me parece que la prueba no utiliza ninguna propiedad especial del plano complejo.
Mi opinión es que, en general, no existe una homotopía entre curvas en el plano real. Pero es fácil encontrar homotopías sencillas en $\mathbb{R}^2$ (utilizando vectores).
¿De qué manera utilizó esta demostración una propiedad exclusiva del plano complejo?
El teorema de la integral de Cauchy dice que si $f$ es una función holomorfa en dominio simplemente conexo $D$ cuyo límite $\partial D$ es diferenciable a trozos, y $\gamma:[a,b]\to D$ es una trayectoria cerrada que parametriza la curva cerrada $\partial D$ entonces $\oint_\gamma f(z)dz=0$ .
La prueba que implica una homoptopía sólo explota la definición de un simplemente conectado a saber $D$ es simplemente conexo si cualquier camino cerrado en $D$ puede reducirse continuamente hasta un punto en $D$ . Además, los cálculos de la derivada $I'(s)$ en el archivo en su enlace, se basan en la hipótesis de que $f$ es holomorfa en $D$ por lo que existe la derivada $f'(\gamma_s(t))$ a lo largo de cada camino $\gamma_s$ .
La noción de homotopía entre dos trayectorias continuas no es específica de las trayectorias en $\mathbb{C}$ pero en cualquier espacio topológico, en particular en $\mathbb{R}^2$ también.
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