¿Qué podemos decir sobre la frontera del conjunto de niveles de una función Sobolev?

Question

Soy un principiante en el área de los problemas de frontera libre. Permítanme primero dar algunos antecedentes:

$\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto conexo, y localmente $\partial \Omega$ es un grafo Lipschitz. Consideremos el conjunto convexo $$K:＝\{v \in L^1_{loc}(\Omega): \nabla v \in L^2(\Omega) \,, v=u^0 \mbox{on $ \parcial \Omega $}\},$$ donde $u^0\ge0,u^0 \in L^1_{loc}(\Omega)$ y $\nabla u^0 \in L^2(\Omega)$ .

Buscamos el minimizador $u$ del funcional $$J(v):=\int_{\Omega}(|\nabla v|^2+\chi_{\{v>0\}})$$ en la clase $K$ .

Se demuestra que el minimizador $u$ existe y satisface las siguientes propiedades: $$u \ge 0 , \, \Delta u=0 \, \mbox{on the open set $ \{u>0\} $}, \, \mbox{and $ u $ is subharmonic},$$ véase la sección 1-2 del documento de Alt y Caffarelli aquí

También se demuestra en la sección 3-5 que $\partial\{u>0\}$ tiene localmente finito $\mathcal{H}^{n-1}$ medida. Sin embargo, muchos teoremas intermedios como el Corolario 3.3 y la Observación 4.2 se basan en el hecho de que $|\partial\{u>0\}|=0$ Eso es, $|\partial\{u=0\}|=0$ . Este hecho no se demuestra en el documento, y en general no es cierto si $u$ es simplemente continua.

Ahora mi pregunta es, ¿por qué es $|\partial\{u=0\}|=0$ ¿Verdad? Llevo un par de días atascado.

Otra pregunta relacionada es, ¿qué condiciones para una función general $u$ que no es necesariamente el mínimo de la función $J$ puede garantizar que $|\partial\{u=0\}|=0$ ? ¿Se supone que $u$ ¿es suficiente una función Sobolev? ¿Y si $u$ ¿es subarmónico?

Agradeceríamos cualquier sugerencia. Gracias.

Answer 1

Descubrí el problema más tarde y hasta hoy no he tenido tiempo de escribirlo.

La prueba de la rectificabilidad del límite libre $\partial \{u>0\}$ requiere la regularidad de Lipchitz de $u$ a través de la frontera libre y la no degeneración de la función $u$ véase el teorema 3.2 - teorema 4.5 en Alt y Caffarelli (1981).

En la demostración de la regularidad de Lipchitz de $u$ los autores demuestran que si $u(x)>0$ entonces $|\nabla u(x)|$ está acotada, y entonces afirman que $u$ es Lipchitz. Al principio pensé que era un problema, porque si $|\partial\{u>0\}|$ >0, entonces ¿cómo se puede dar un límite para $|\nabla u(x)|$ ? Esa es la razón por la que he formulado la pregunta aquí.

Más tarde comprobé que no había ningún problema. Por Gilbarg y Trudinger, $Du^+=Du$ en $\{u>0\}$ y $Du^+=0$ de lo contrario. Esto significa que la derivada débil de $u$ es siempre $0$ en $\{u=0\}$ por muy loco que sea $|\partial\{u>0\}|$ es. Entonces por un resultado bien conocido pero no trivial que $C^{0,1}=W^{1,\infty}$ por fin se puede decir $u$ es Lipchitz.

A decir verdad, era reacio a publicar la respuesta aquí, porque creo que la cuestión general relacionada con el límite de un conjunto de niveles de una función sigue teniendo sentido, incluso sólo para el mero objeto de conjunto de niveles de una función "bonita". He visto algunas referencias que estudian resultados parciales de conjuntos de niveles de funciones. Por ejemplo, esta cuestión está relacionada con la generalización del Teorema de Morse-Sard para funciones "bonitas", la fórmula de coárea para $\mathcal{H}^s$ conjuntos rectificables, etc. Mi asesor me dijo que no se conoce la regularidad de la frontera libre de una solución de una ecuación general totalmente no lineal, y que el problema es muy difícil.

Por cierto, se puede construir fácilmente una función Lipschitz $u$ tal que $\partial\{u>0\}$ puede ser lo más loco posible.

Answer 2

Desde $\partial\{u>0\}$ tiene localmente finito $H^{n-1}$ medir $|\partial\{u>0\}\cap B_r|=0$ y por lo tanto $|\partial\{u>0\}|=0$ .