necesito ayuda con un problema de prueba de convergencia de series de potencias

Question

Hallar el intervalo de convergencia para la serie de potencias dada: $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x - 1)^n }{n(-4)^n}$$

Primero apliqué la prueba de la proporción generalizada, salí con $\frac{(1-x)}{4}$

Resuelta la desigualdad $|1-x| \lt 4$ y consiguió $-3 \lt x \lt 5$ .

Pero webwork se niega a aceptar mi respuesta. ¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

La prueba de la proporción no es concluyente cuando el límite de la proporción es 1. Por lo tanto, para $-3<x<5$ el cociente es menor que 1, por lo que la serie converge. Ahora para $-3$ y $-5$ debe comprobarlo por separado. Para 5, la serie converge a $\ln 2$ . Para $-3$ diverge, ya que se convierte en una serie armónica. Por tanto, el intervalo de convergencia es $x \in (-3, 5]$ .

Answer 2

Sólo puede aplicar la prueba de racionamiento cuando $\lim |a_{n+1}/a_n|$ no es igual a 1. Si es igual a 1, no indica si $\sum a_n$ converge o no.

Así que, en ese caso, deberías comprobar la convergencia de la serie directamente. Si $x=-3$ entonces es igual a la serie armónica por lo que diverge. Si $x=5$ entonces converge por prueba alterna.

Answer 3

Sugerencia

Podrías hacerte la vida más fácil escribiendo $$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{(x - 1)^n }{n(-4)^n}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{y^n}n=-\log(1+y)$$ donde $y=\frac{x-1}4$ debe ser tal que $|y|<1$ .

Estoy seguro de que usted puede tomar de aquí.

Answer 4

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 1)^n }{n(-4)^n}$$ Utilizando la prueba de la proporción, tenemos $$ \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{(x - 1)^{n+1}}{(n+1)(-4)^{n+1}}}{\frac{(x - 1)^n }{n(-4)^n}}\right|$$ $$ =\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{(x - 1)^{n+1}n(-4)^n}{(x-1)^n(n+1)(-4)^{n+1}}\right|$$ $$ =\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{(x - 1)n}{(n+1)(-4)}\right|$$ $$ =\frac14\left|x-1\right|\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{n}{n+1}\right|$$ $$ =\frac14\left|x-1\right|\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{1}{1+\frac1n}\right|$$ $$ =\frac14\left|x-1\right|$$ Ahora vamos a encontrar el intervalo de convergencia $$ \frac14\left|x-1\right|\lt 1 $$ $$ \left|x-1\right|\lt 4 $$ $$ -4\lt x-1\lt 4 $$ $$ -3\lt x\lt 5 $$ En $x=-3$ tenemos $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n }{n(-4)^n}= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\Rightarrow \mbox{diverges} $$ En $x=5$ tenemos $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4^n }{n(-4)^n}= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\Rightarrow \mbox{converges} $$ Por lo tanto, el intervalo de convergencia es $$ -3\lt x\leq 5 $$