Sea $p$ sea un número primo y $G$ un grupo u orden no abeliano $p^3$ . Demostrar que $Z(G) = [G,G]$ .

Question

Sea $p$ sea un número primo y $G$ un grupo u orden no abeliano $p^3$ . Demostrar que $Z(G) = [G,G]$ .

Ya me he dado cuenta de que $|Z(G)| = p$ y que $G'=[G,G] \lhd G$ .

También, $|G'| = p$ o $p²$ .

Supongo que tendría que probar que $G' \subset Z(G)$ , pero lo he intentado y no tengo ni idea de cómo. ¿Algún consejo? Gracias.

Answer 1

Sugerencia (suponiendo que con $[G:G]$ quieres decir $G'=[G,G]$ el subgrupo conmutador): puesto que $G$ es nilpotente, $G'\ne G$ puede $Z(G)$ tienen índice $p$ en $G'$ ?

Answer 2

Desde $G$ es un grupo no abeliano, deberíamos tener: $|\frac{G}{Z(G)}|=p^2$ . (si no, $|\frac{G}{Z(G)}|=p$ y es malo $G$ es un grupo abeliano). Consideremos ahora que, todo grupo de orden $p^2$ es un grupo abeliano (Porque si $G$ sea un grupo de orden $p^2$ . Así que $|Z(G)|\gt1$ . si $|Z(G)|=p$ entonces: $|\frac{G}{Z(G)}|=p$ y $\frac{G}{Z(G)}$ debe ser cíclico. así $G$ debe ser un grupo abeliano. ). Ahora recuerda que: si $N$ sea un subgrupo normal de $G$ entonces: $\frac{G}{N}$ es un grupo abeliano si y sólo si: $G'\subseteq N$ . Por lo tanto, debido a $\frac{G}{Z(G)}$ es abeliano, $G'\subseteq Z(G)$