Si $f$ estrictamente convexo hace $f'$ ¿estrictamente creciente?

Question

En un ejercicio sobre convexidad, estoy a punto de concluir, sólo necesito saber si estrictamente convexo implica $f'$ estrictamente creciente. ¿Es correcto?

Answer 1

Supongamos que $f$ es diferenciable. Sabemos que $f'$ es débilmente creciente. Supongamos que $f'(a)=f'(b)$ para $b>a$ . Entonces sabemos $f'(x)=f'(a)$ para todos $x\in[a,b]$ . Es decir $f$ es afín para $x\in[a,b]$ contradiciendo la convexidad estricta.