Mínimo $Yp$ grado necesario para resolver una ecuación diferencial no homogénea

Question

El vídeo de la Academia khan "coeficientes indeterminados 1", muestra a khan resolviendo:

$$y'' -3y' - 4y = 3e^{2x}$$

$$y_h = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}$$

Para $Y_p$ comienza con $Ae^{2x}$ y resuelve.

Mi libro de texto tiene la ecuación:

$$y'' - 6y' + 9y = e^{3t}$$

$$Y_h = C_1 e^{3t} + C_2te^{3t}$$

Para $Y_p$ comienza con $At^2e^{3t}$ .

Estoy confundido en cuanto a por qué Khan fue capaz de utilizar un $n$ polinomio de grado (con $n$ siendo el grado máximo en $Y_h$ ) y el libro de texto necesitaba un $n+1$ ¿grado? ¿Podrías resolver la ecuación de Khan con un $n+1$ grado ( $Ate^{2x}$ )?

Edición: cambiado más por menos para mostrar las raíces reales

Answer 1

En el primer caso no hay raíces repetidas, mientras que en el segundo sí. ¡Es una especie de truco general para dar una función candidata para su solución particular estos tipos, estoy bastante seguro de que estos se encuentran en cualquier libro de texto ODE!

Answer 2

La ecuación diferencial de Khan, que es probablemente $y'' -3y' -4y$ tiene la ecuación característica $$r^2 -3r-4 = (r-1)(r+4).$$ Observa que tiene dos raíces distintas. La ecuación de tu libro tiene la ecuación característica $$r^2-6r+9=(r-3)^2.$$ Tiene una raíz doble, y por lo tanto las exponenciales no serán linealmente independientes. Como tenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden, tenemos que buscar soluciones del tipo $(At^2+Bt+C)e^{3t}$ .

Puedes aplicar este método al ejemplo de Khan. Tendrías que probar soluciones particulares $$y_{p_1} = (A_1 t^2 +B_1 t + C_1)e^{4t}$$ y $$y_{p_2} = (A_2 t^2 + B_2 t +C_2) e^{-t}.$$ Debería encontrar $A_1 = B_1 = A_2 = B_2 = 0$ .