$\sf K$ -prueba de $(\Box p \land \Diamond q) \rightarrow \Diamond (p\land q)$

Question

$\sf K$ -prueba de $(\Box p \land \Diamond q) \rightarrow \Diamond (p\land q)$

Estoy atascado en la prueba de esto usando el sistema de axiomas $\sf K$ .

Este es el ejercicio 1.6.1 de la lógica modal de Blackburn. ¿Alguna ayuda, por favor?

Gracias, señor.

Answer 1

Obsérvese que queremos demostrar (a partir de una hipótesis adecuada) una afirmación de la forma " $\neg\Box\neg\varphi$ "Esto significa que tendremos que utilizar la función forma contrapositiva de la regla K . (Básicamente, porque eso es todo lo que tenemos en sistema K .)

Ponerlo en " $\Box$ -forma "sólo", nuestra hipótesis es $$(*)\quad\Box p\wedge\neg\Box \neg q.$$ Ahora tiene la forma $$A\wedge\neg B,$$ es decir, tiene la forma $$\neg (A\implies B).$$ En concreto, nuestra hipótesis equivale a $$(**)\quad \neg(\Box p\implies \Box\neg q).$$ Ahora piensa en lo que el contrapositivo de la regla $K$ nos permite hacer aquí ...

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Por cierto, este es un buen ejemplo de una situación en la que el razonamiento semántico es mucho más eficaz que el sintáctico. Es fácil demostrar que " $(\Box p\wedge\Diamond q)\implies\Diamond (p\wedge q)$ " es válido en todo marco de Kripke, por lo que, según el teorema de completitud habitual para K es un K -tautología.