desigualdad

Question

Alguien puede ayudarme con una sugerencia en el siguiente problema:

Demostrar que para cualquier $a,b,c>0$, $$\frac{a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc}}{3} \leq \sqrt[3]{a \cdot \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a+b+c}{3}}.$ $

Han intentado usar la desigualdad de Hölder, pero no puede aplicarlo eficientemente.

¡ Gracias!

Answer 1

En primer lugar, probar la desigualdad siguiente: $a_{ij}\in \mathbb{R}_{\geq0},1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n$,

$\sum_{i=1}^m \sqrt[n]{\prod_{j=1}^n{a_{ij}}}\leq \prod_{j=1}^n \sqrt[n]{ \sum_{i=1}^m {a_{ij}}}$.

(por inducción en $n$fijación $m$ y usando ineq del titular con $x_i=\sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n-1} {a_{ij}}}, y_i=\sqrt[n]{a_{in}}, p=\frac{n}{n-1}, q=n$ para el paso de inducción)

Entonces es bastante trivial, dejando $(a_ {ij}) = \left (\begin{array}{ccc} x & x & x \\ x & \sqrt{xy} & y \\ x & y & z \end{matriz} \right)\in \mathbb{R}^{3\times 3} $ en la anterior y utilizando ineqs de AM-GM.