Formas diferenciales en el producto cartesiano

Question

Sea $M,N$ sean variedades lisas.

¿Es cierto que cualquier $k$ -forma $\alpha$ en $M\times N$ es de la forma $$\alpha = \sum_{p+q=k} p_M^* \beta_p \wedge p_N^* \gamma_q,$$ donde $p_M, p_N$ son las proyecciones y $\beta_p$ es un $p$ -formar en $M$ y $\gamma_q$ es un $q$ -formar en $N$ ?

Sé que es cierto a nivel de cohomología.

Answer 1

Hay un punto sutil implicado en la cuestión, a saber:
Lo que no es cierto
No es cierto (como señala s.harp en los comentarios) que cada $k$ -forma $\alpha_k$ en $M\times N$ se puede escribir $$\alpha = \sum_{p+q=k} p_M^* \beta_p \wedge p_N^* \gamma_q,$$ Por ejemplo, en $\mathbb R^m\times \mathbb R^n$ el $0$ -forma $\alpha_0=\sin(x_1\cdots x_m y_1\cdots y_n)$ no puede escribirse como $\alpha_0=f(x_1,\cdots, x_m)\cdot g(y_1,\cdots ,y_n)$
Y el $m+n$ -forma $\alpha_{m+n } =\sin(x_1\cdots x_m y_1\cdots y_n)dx_1\cdots dx_mdy_1\cdots dy_n$ no puede escribirse como $\alpha_{m+n } =f(x_1,\cdots, x_m)dx_1\cdots dx_m \wedge g(y_1,\cdots ,y_n)dy_1\cdots dy_n$

Lo que es verdad
Si definimos los haces vectoriales $E^p:=\pi^*_M(\bigwedge^p T^*_M), F^q:=\pi^*_N(\bigwedge^q T^*_N)\; $ en $M\times N$ entonces tenemos un isomorfismo de haces vectoriales en $M\times N$ $$\bigwedge^kT^*_{M\times N}=\oplus_{p+q=k}(E^p \otimes F^q) $$ Tomando secciones globales obtenemos la igualdad correcta $$\Gamma(M\times N,\bigwedge^{k} T^*_{M\times N})=\oplus_{p+q=k}[\Gamma(M\times N,E^p)\otimes_{C^\infty (M\times N)} \Gamma(M\times N, F^q)]$$ un isomorfismo canónico de $C^\infty$ -módulos.

Aquí he utilizado el hecho no trivial de que dados dos haces vectoriales $V,W$ en el colector $X$ tenemos $\Gamma(X,V\otimes W)=\Gamma(X,V) \otimes_{C^\infty (X)} \Gamma(X,V) $ .
Obsérvese que el producto tensorial es sobre $C^\infty (X)$ no $\mathbb R$ .
Se puede encontrar una prueba, por ejemplo, en la obra de Conlon Múltiples diferenciables página 232]

Por qué no hay contradicción entre las dos afirmaciones anteriores
Porque podemos escribir en el ejemplo anterior $$\alpha_{m+n } =\sin(x_1\cdots x_m y_1\cdots y_n)dx_1\cdots dx_m dy_1\cdots dy_n=\\ \sin(x_1\cdots x_m y_1\cdots y_n)dx_1\cdots dx_m \wedge 1\cdot dy_1\cdots dy_n$$ y el punto crucial es que $$\sin(x_1\cdots x_m y_1\cdots y_n)dx_1\cdots dx_m \in \Gamma(\mathbb R^m\times \mathbb R^n,E^m)=\Gamma(\mathbb R^m\times \mathbb R^n ,\pi^*_{\mathbb R^m}(\bigwedge^m T^*_{\mathbb R^m}))$$