Es $\frac{x}{1+e^x} $ uniformemente continua o no (en $\mathbb{R}$ )?

Question

$f(x)=\frac{x}{1+e^x} $ y necesito demostrar si es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ o no.

Creo que sí, pero las reglas que conozco no funcionan en este caso, así que he intentado utilizar la definición. para cada $\epsilon>0$ hay $\lambda>0$ así que cuando $ |x-y|<\lambda $ entonces $ |f(x)-f(y)|<\epsilon$ pero no encontré la conexión entre $ |f(x)-f(y)|<\epsilon$ y $ |x-y|<\lambda $

Answer 1

Se puede ver que la derivada está acotada :

$$f'(x) = \frac{1+e^x - xe^x}{(1+e^x)^2} $$

Es continuo sobre $\mathbb{R}$ y como $\lim_{x\to + \infty} f'(x) = 0$ y $\lim_{x\to - \infty} f'(x) = 1$ está acotado : $|f'(x)| < M$ con $M>0$ .

Así que por el teorema del valor medio,

$$f(x) - f(y) = (x-y)f'(c)$$

Así que esto te da

$$|f(x) - f(y)| \le M|x-y|$$

Basta entonces con tomar $\delta = \frac{\epsilon}{M}$

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(x)$ es pequeño para $x\gg 0$ y $f(x)-x=\frac{e^x}{1+e^x}\cdot x$ es pequeño para $x\ll 0$ .