¿Cómo determinar la cuadratura de Gauss con una función ponderada?

Question

Quiero determinar la fórmula de la cuadratura de Gauss en $[-1,1]$ con $2$ nodos y la función de peso $w(x) = 1-x^2$ .

Sé que se pueden calcular los pesos con la fórmula $$a_{i} = \int_{-1}^1 w(x) \prod \limits_{j=i,j \neq i }^{n}\ \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x{j}}dx$$

¿pero no encuentro la fórmula para los nodos? Además, si $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)dx = \sum_{i=1}^nw_{i}f(x_{i})$ entonces, ¿qué es $n$ ? ¿Es $n=3$ debido a $1-x^2$ ?

Answer 1

Para una función dada $f$ definir una cuadratura: $$ Q(f) = w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) $$ y una integral $$ I(f) = \int_{-1}^1 f(x) \, dx $$

Quieres encontrar cuatro números $x_1$ , $x_2$ , $w_1$ , $w_2$ tal que $Q(f) = I(f)$ para $f = \omega, \, \omega x , \, \omega x^2 , \, \omega x^3 $ donde $\omega = 1 - x^2$ . Obtenemos un sistema de ecuaciones:

$$ w_2(1-x_2^2)+w_1(1-x_1^2) = 4/3, \quad w_2x_2(1-x_2^2)+w_1x_1(1-x_1^2) = 0, \quad w_2x_2^2(1-x_2^2)+w_1x_1^2(1-x_1^2) = 4/15, \quad w_2x_2^3(1-x_2^2)+w_1x_1^3(1-x_1^2) = 0 $$

Tomado $x_2 = -x_1$ y $w_2 = w_1$ convertir la segunda y la última en identidades. Los dos restantes son: $$ 2w_1(1-x_1^2) = 4/3, \quad 2w_1x_1^2(1-x_1^2) = 4/15 $$

Y finalmente $$ w_1 = 5/6, \quad w_2 = 5/6, \quad x_2 = 1/\sqrt{5}, \quad x_2 = -1/\sqrt{5} $$