¿Es la resolución Grothendieck-Springer teórica de grupos Calabi-Yau?

Question

Cualquier haz cotangente es Calabi-Yau (con lo que quiero decir que el haz canónico es trivial), por lo que la resolución de Springer $T^*(G/B)$ es Calabi-Yau. Creo que la resolución Grothendieck-Springer $\tilde{\mathfrak{g}}$ es Calabi-Yau -- esto se debe a que un haz vectorial sobre $X$ con gavilla de secciones $\mathcal{E}$ tiene haz canónico $\pi^* \omega_X \otimes \Lambda^{top} \pi^* \mathcal{E}^\vee$ . Se puede comprobar que $\mathcal{E}$ es una extensión del haz cotangente por haces triviales.

¿Es la resolución teórica de grupo $$\tilde{G} = \{(x, g) \in G/B \times G \mid g \in xBx^{-1}\}$$ también Calabi-Yau, ¿y cómo se podría argumentar?

Answer 1

Creo que tengo una respuesta. Deja que $p: E \rightarrow X$ sea un haz vectorial sobre $X$ . Como se trata de un mapa suave, tenemos una secuencia exacta corta $$0 \rightarrow p^* \Omega^1_X \rightarrow \Omega^1_E \rightarrow \Omega^1_{E/X} \rightarrow 0$$ y tomando las máximas potencias exteriores, $$\omega_E \simeq p^* \omega_X \otimes \Lambda^n \Omega^1_{E/X}$$ Comprobando las definiciones obtenemos $\Omega^1_{E/X} \simeq p^* \mathcal{E}^\vee$ .

Para la resolución del álgebra de Lie Grothendieck-Springer, tomamos $\mathcal{E}$ sea una extensión trivial de la gavilla cotangente. Fijemos esta notación. Para la versión teórica de grupos $p^*: \tilde{G} \rightarrow G/B$ es un $B$ -bundle over $G/B$ pero sigue siendo suave, y la secuencia exacta corta sigue dividiéndose. El resultado que queremos se deduce de la afirmación de que $\Omega^1_{\tilde{G}/(G/B)} \simeq p^* \mathcal{E}^\vee$ . Como calentamiento, podemos calcular $\Omega^1_B$ como una gavilla equivariante, esto es $\mathcal{O}_B \otimes \mathfrak{b}^*$ . Por $G$ -equivarianza, $\Omega^1_{\tilde{G}/X} = p^*\mathcal{F}^\vee$ donde el haz total de $\mathcal{F}$ es $G \times_B \mathfrak{b}$ pero esto es sólo $\mathcal{E}$ .