convergencia de las convoluciones y aproximación de la unidad

Question

Sea $\phi : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función integrable con $\int \phi(x)dx = 1$ .

Definamos $\phi_\delta = \delta^{1}\phi(\delta^{-1}x)$ .

Demuestre que para toda función continua $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ con soporte compacto, $f \phi_\delta(x)\rightarrow f(x)$ como $\delta\rightarrow 0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ .

Mi idea era aplicar el siguiente THM: si $\phi_n$ es una aproximación de la unidad, entonces para $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ continua: $\phi_n f\rightarrow f$ uniformemente en conjuntos compactos.

pero nuestra definición de aproximación de la unidad requiere el hecho de que $\phi$ tiene un soporte compacto.

¿Alguna idea o ayuda? Gracias

Answer 1

Escriba a $$f\star\phi_\delta(x)-f(x)=\int_\mathbb R f(x-t)\delta^{-1}\phi(\delta^{-1}t)\mathrm dt-\int_\mathbb Rf(x)\delta^{-1}\phi(\delta^{-1}t)\mathrm dt,$$ por lo que utilizando la sustitución $s=\delta^{-1}t$ obtenemos $$|f\star\phi_\delta(x)-f(x)|\leqslant \int_{\mathbb R}|f(x-s\delta)-f(x)|\cdot |\phi(s)|\mathrm ds.$$ Ahora concluimos utilizando la continuidad uniforme de $f$ y la integrabilidad de $\phi$ .