Calcular la probabilidad de sacar un número determinado

Question

Un amigo y yo tuvimos una pequeña discusión el otro día, pero ninguno de los dos somos lo suficientemente buenos con las probabilidades como para obtener una respuesta definitiva.

Digamos que hay un juego con 100 participantes. Cada persona saca un número al azar de una bolsa, siendo los números del 1 al 100. Cada persona saca un número, y el número no se vuelve a meter en la bolsa después de sacarlo. Si sacas el número 1 te toca la lotería, y a mí me han dado a elegir en qué lugar de la fila de 100 personas que sacan números quiero ponerme.

La pregunta es, entonces, ¿dónde debo colocarme para tener más posibilidades de sacar el nº 1? Al final llegamos a la conclusión de que la probabilidad es la misma independientemente del lugar de la fila en el que te coloques, siempre tendrás una probabilidad de 1/100. Llegamos a esta respuesta utilizando un ejemplo más pequeño de 4 personas y 4 números. Intuitivamente, ninguno de los dos podía aceptar esa respuesta, pero no vemos otra forma de verlo.

Answer 1

Has acertado. Una forma de ver por qué es así es calcular las probabilidades de ganar de cada participante. Llamemos a los participantes $P_1,P_2,\ldots,P_{100}$ .

Para $P_1$ la probabilidad de ganar es $\frac{1}{100}$ .

Para $P_2$ la probabilidad de ganar es $\frac{1}{99}$ si $P_2$ consigue jugar. $P_2$ sólo puede jugar si $P_1$ pierde, y la probabilidad de que $P_1$ pierde es $\frac{99}{100}$ . Por lo tanto, la probabilidad de que $P_2$ gana es $\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{99}=\frac{1}{100}$ .

Para $P_3$ para ganar, $P_1$ y $P_2$ debe perder. Por lo tanto, la probabilidad de $P_3$ ganar es $\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{99}\cdot\frac{1}{98}=\frac{1}{100}$ .

La probabilidad de que $P_4$ gana es $\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{99}\cdot\frac{97}{98}\cdot\frac{1}{97}=\frac{1}{100}$ .

La probabilidad de que $P_5$ gana es $\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{99}\cdot\frac{97}{98}\cdot\frac{96}{97}\cdot\frac{1}{96}=\frac{1}{100}$ .

Para cada $P_n$ la probabilidad de que $P_n$ gana será un producto telescópico similar que es igual a $\frac{1}{100}$ .

Answer 2

Este punto suele ser fuente de confusión.

Si quieres, puedes demostrarlo inductivamente. Pequeño $n$ no plantean ninguna dificultad, así que supongamos que la hemos mostrado hasta colecciones de tamaño $n-1$ .

Ahora, tienes una colección con $n$ entradas (y una ganadora). Saca uno del lote. La probabilidad de que sea el ganador es $\frac 1{n}$ . Si no es la primera opción, entonces tiene una colección de $n-1$ entradas con una ganadora. Por la hipótesis inductiva, la probabilidad de que la ganadora esté en cualquiera de las ranuras numeradas $2$ a $n-1$ es ahora $\frac 1{n-1}$ . Por lo tanto, antes de extraer el primer boleto, la probabilidad de que el boleto ganador se encuentre en una franja específica entre $2$ y $n-1$ fue $$\frac {n-1}n\times \frac 1{n-1}=\frac 1{n}$$ como desee.