Tenemos variables aleatorias $X_n\rightarrow X$ casi seguro. Fijemos ahora un número real positivo $M$ define $\bar{Y}=Y \mathbb{I}_{\{Y\leq M\}}$ . Entonces, si $P(X=M)=0$ tenemos $\bar{X_n}\rightarrow \bar{X}$ casi seguro.
Mi pregunta es por qué necesitamos $P(X=M)=0$ esta condición? ¿Y podría alguien darme un contraejemplo de que esta convergencia falla sin esta condición?
Gracias
Sea $X_n=M+1/n$ y $X=M$ Entonces $\overline{X_n}=0$ y $\overline{X}=M$ mientras que $X_n\to X$ casi seguro.
La razón es que si $P(X=M)=0$ para casi todos los $\omega$ o bien tenemos $X(\omega)<M$ ou $X(\omega)>M$ por lo tanto para $n$ suficientemente grande, estamos seguros de que $X_n(\omega)<M$ ou $X_n(\omega)>M$ y el valor del indicador no cambiará.
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