Resolver el problema unidimensional de los valores propios: $u_{tt} - u_{xx} = m^2 u$

Question

Resolver el problema unidimensional de los valores propios: $$u_{tt} - u_{xx} = m^2 u$$

He aprendido a resolver EDP de la forma $u_{tt} - u_{xx} = f(x,t)$ utilizando la solución de d'Alembert. Sin embargo, todavía no he estudiado las EDP de esta forma. ¿Cómo se resuelve esta EDP?

Answer 1

Supongamos que intentamos la separación de variables, estableciendo

$u(x, t) = f(t)g(x); \tag 1$

entonces

$u_{xx} = f(t) g''(x), \tag 2$

$u_{tt} = \ddot f(t) g(x), \tag 3$

de donde la ecuación

$u_{tt} - u_{xx} = m^2 u \tag 4$

se convierte en

$\ddot f g - f g'' = m^2 fg; \tag 5$

si suponemos por el momento que $f(t) \ne 0 \ne g(x)$ podemos dividir (5) por $fg$ , dando como resultado

$\dfrac{\ddot f}{f} - \dfrac{g''}{g} = m^2, \tag 6$

ou

$\dfrac{\ddot f}{f} - m^2 = \dfrac{g''}{g}. \tag 7$

Ahora podemos argumentar de la manera típica que, dado que el lado izquierdo sólo depende de $t$ pero el lado derecho sólo en $x$ deben ser cada una igual al mismo valor constante que, por razones que esperamos se aclaren pronto, denotamos por $-\lambda^2$ :

$\dfrac{\ddot f}{f} - m^2 = -\lambda^2 = \dfrac{g''}{g}, \tag 8$

que conduce a

$\ddot f + (\lambda^2 - m^2) f = 0, \tag 9$

y

$g'' + \lambda^2 g = 0.\tag{10}$

(10) tiene soluciones de la forma general

$g_\lambda(x) = a_+(\lambda)e^{i\lambda x} + a_-(\lambda) e^{-i\lambda x}, \tag{11}$

donde $\lambda$ y el $a_\pm(\lambda) \in \Bbb C$ vienen determinadas por las condiciones de contorno/iniciales impuestas a $g(x)$ No podemos ser mucho más concretos sin esa información. Para cada $\lambda$ tenemos una solución para $f(t)$ :

$f_\lambda(t)= b_+(\lambda) e^{i\sqrt{\lambda^2 - m^2}t} + b_-(\lambda)e^{-i\sqrt{\lambda^2 - m^2}t}; \tag{12}$

por lo tanto,

$u_\lambda(x, t) = f_\lambda(t)g_\lambda(x)$ $= ( b_+(\lambda) e^{i\sqrt{\lambda^2 - m^2}t} + b_-(\lambda) e^{-i\sqrt{\lambda^2 - m^2}t})(a_+(\lambda)e^{i\lambda x} + a_-(\lambda) e^{-i\lambda x}); \tag{13}$

es fácil comprobar que

$u_{\lambda tt} - u_{\lambda xx} = m^2 u_\lambda. \tag{14}$

Soluciones de la forma (13) para diferentes $\lambda$ puede componerse por suma o integración sobre $\lambda$ para obtener soluciones más complicadas.

Por último, cabe señalar que las frecuencias temporales $\sqrt{\lambda^2 - m^2}$ puede llegar a ser imaginario si $\lambda^2 < m^2$ obtenemos soluciones temporales exponencialmente crecientes/decrecientes $u(x, t)$ .

En lo anterior, he decidido asociar el $m^2$ términos con $f(t)$ pero también podríamos haber tomado

$g'' + (\lambda^2 + m^2)g = 0 \tag{15}$

y obtuvimos un conjunto diferente, aunque similar, de soluciones a (4). De hecho, si fijamos

$m^2 = m_t^2 - m_x^2, \tag{16}$

podemos escribir

$\dfrac{\ddot f}{f} - \dfrac{g''}{g} = m_t^2 - m_x^2, \tag{17}$

de donde

$\dfrac{\ddot f}{f} - m_t^2 = -\lambda^2 = \dfrac{g''}{g} - m_x^2, \tag{18}$

lo que conduce a un análisis y un conjunto de soluciones más simétricos.

Esto podría seguir para siempre, pero no puedo, así que lo dejaré así. No obstante, me gustaría decir para terminar que todo esto huele a Teoría Especial de la Relatividad y Física de Partículas para mi algo entendida nariz.

Answer 2

Sea $p=mx$ ,

Entonces $u_{tt}=m^2u_{pp}+m^2u$

Sea $q=mt$ ,

Entonces $u_{qq}=u_{pp}+u$

Similar a Resolver el problema de valor inicial para $u_{tt} - u_{xx} - u = 0$ utilizando características ,

Considere $u(p,a)=f(p)$ y $u_q(p,a)=g(p)$ ,

Sea $u(p,q)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(q-a)^n}{n!}\dfrac{\partial^nu(p,a)}{\partial q^n}$ ,

Entonces $u(p,q)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(q-a)^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^{2n}u(p,a)}{\partial q^{2n}}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(q-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^{2n+1}u(p,a)}{\partial q^{2n+1}}$

$u_{qqqq}=u_{ppqq}+u_{qq}=u_{pppp}+u_{pp}+u_{pp}+u=u_{pppp}+2u_{pp}+u$

$u_{qqqqqq}=u_{ppppqq}+2u_{ppqq}+u_{qq}=u_{pppppp}+u_{pppp}+2u_{pppp}+2u_{pp}+u_{pp}+u=u_{pppppp}+3u_{pppp}+3u_{pp}+u$

Del mismo modo, $\dfrac{\partial^{2n}u}{\partial q^{2n}}=\sum\limits_{k=0}^nC_k^n\dfrac{\partial^{2k}u}{\partial p^{2k}}$

$u_{qqq}=u_{ppq}+u_q$

$u_{qqqqq}=u_{ppqqq}+u_{qqq}=u_{ppppq}+u_{ppq}+u_{ppq}+u_q=u_{ppppq}+2u_{ppq}+u_q$

$u_{qqqqqqq}=u_{ppppqqq}+2u_{ppqqq}+u_{qqq}=u_{ppppppq}+u_{ppppq}+2u_{ppppq}+2u_{ppq}+u_{ppq}+u_q=u_{ppppppq}+3u_{ppppq}+3u_{ppq}+u_q$

Del mismo modo, $\dfrac{\partial^{2n+1}u}{\partial q^{2n+1}}=\sum\limits_{k=0}^nC_k^n\dfrac{\partial^{2k+1}u}{\partial p^{2k}\partial q}$

$\therefore u(p,q)=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{C_k^nf^{(2k)}(p)(q-a)^{2n}}{(2n)!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{C_k^ng^{(2k)}(p)(q-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}$