Condición para que las bolas tengan medida finita

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico y sea $\mu$ sea una medida positiva sobre $X$ . Quiero exigir que $(X,d)$ y $\mu$ tienen alguna de las siguientes propiedades:

1. $\forall y \in X$ , $\forall r \geq 0$ , $\{x : d(x,y) = r\}$ tiene medida finita (según $\mu$ ).
2. $\forall y \in X$ , $\forall r \geq 0$ , $\{x: d(x,y) \leq r\}$ tiene medida finita (según $\mu$ ).

(Es decir, me interesa el caso en el que impongo #1 y el caso en el que impongo #2).

Mis preguntas son:

1. ¿Son equivalentes los requisitos? ( Respuesta a continuación: no. )
2. ¿Se ha exigido alguna de las dos cosas antes? En caso afirmativo, ¿cómo se llama y dónde puedo informarme al respecto?
3. ¿Es alguna de las dos condiciones equivalente o está implícita en alguna condición más agradable o conocida sobre los espacios de medidas?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Toma el plano con la métrica habitual, y toma $\mu$ sea Hausdorff $s$ -donde $1<s<2$ . Los discos tienen dimensión Hausdorff $2$ por lo que su $\mu$ -medida es $\infty$ . Los círculos tienen dimensión de Hausdorff $1$ por lo que su $\mu$ -medida es $0$ .

Answer 2

Sólo toma $\mathbb{R}$ dotada de la medida de Lebesgue y de la métrica dada por $$d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}.$$ Entonces $\{x:d(x,y)=r\}$ tiene siempre medida finita, pero $\{x:d(x,y)<1\}$ tiene medida infinita. Por tanto, las condiciones no son equivalentes.

Answer 3

Para la primera pregunta:

Sea $X = \mathbb{R}$ (con $d(x,y) = |x-y|$ ) y $\mu$ sea la medida de recuento (es decir $\mu(A) = |A|$ y $\mu(A) = +\infty$ cuando $|A|$ no finito). Entonces las esferas tendrán medida 2, pero las bolas tendrán medida infinita.