Tengo un generador de números aleatorios que puede generar un número aleatorio entre $0$y $1$.
Intento generar un número aleatorio entre 1 e infinito, por usar este generador de números aleatorios, pero tomando el recíproco de este resultado.
¿Es el nuevo generador uniforme? Desde luego, no. Entonces ¿cuál es la función de densidad de probabilidad del generador nuevo?
Dejar que la antigua función de densidad de probabilidad de ser $f_1(x)$, y que el nuevo ser $f_2(x)$.
Tenemos:$$ \int_1^af_2(x)\mathrm dx=\int_\frac1a^1f_1(x)\mathrm dx $$where $>1$.
También sabemos que $f_1(x)$ es uniforme, y se extiende desde $0$$1$. Por lo tanto, $f_1(x)=1$ en ese intervalo.
Por lo tanto:$$ \int_1^af_2(x)\mathrm dx=\int_\frac1a^1\mathrm dx=1-\frac1a $$
La diferenciación de ambos lados con respecto a $a$:$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm da}\int_1^af_2(x)\mathrm dx=\frac{\mathrm d}{\mathrm da}\left(1-\frac1a\right) $$
La simplificación de ambos lados:$$ f_2(a)=\frac1{a^2} $$ $\blacksquare$
Denotan con $U$ el número aleatorio que se genera, entonces $U\sim U(0,1)$ y desea determinar la distribución de $Y=\frac{1}U$. Así, $1\le y<+\infty$, tienes que $$F_{Y}(y)=P(Y\le y)=P(1/U\le y)=P(U\ge 1/y)=1-P(U<1/y)=1-F_U(1/y)$$ Hence $% $ $f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\left(1-F_U(1/y)\right)=\frac1{y^2}f_U(1/y)=\frac1{y^2}\cdot1=\frac1{y^2}\mathbf{1_{y\ge1}}$
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