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Distancia del incentro al vértice agudo de un triángulo rectángulo

Busco una prueba alternativa de este resultado:

Dado ABC con ángulo recto en A . Punto I es la intersección de las tres líneas angulares. (Es decir, I es el incentro de ABC .) Demostrar que |CI|2=12((|BC||AB|)2+|AC|2)

Mi prueba. Dibujar IDAB , IEBC y IFCE .

Tenemos |ID|=|IE|=|IF|=x . Desde ADI es triángulo isósceles rectángulo, también tenemos que |AD|=|ID|=x . Respectivamente, tenemos: |ID|=|IF|=|IE|=|AD|=|AF|=x

BDI=BEI|BD|=|BE|=y . Y |CE|=|CF|=z

Tenemos:
|CI|2=|CE|2+|IE|2=x2+z2

Y 12((|BC||AB|)2+|AC|2)=12(((y+z)(x+y))2+(x+z)2)=12((xz)2+(x+z)2)=22(x2+z2)=x2+z2

En (1);(2) hemos terminado.

3voto

Brian Deacon Puntos 4185

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Que el círculo sobre B a través de C cumplir la ampliación de ¯AB en el punto C . Por simetría y un poco de persecución de ángulos en isósceles CBC encontramos que CIC es un triángulo rectángulo isósceles. En consecuencia, |IC|2+|IC|2=|IC|2+|IC|2=|CC|2=|AC|2+|AC|2=|AC|2+(|BC||AB|)2

2voto

Lazy Lee Puntos 618

Sea AB=c,AC=b,BC=a y que ITAC en I . Entonces, CI puede escribirse como CI2=CT2+IT2=(a+bc2)2+(b+ca2)2=2a2+2b2+2c24ac4=(ac)2+b22=(BCAB)2+AC22

1voto

Roger Hoover Puntos 56

Prueba alternativa: por el teorema de Stewart la longitud c de la bisectriz del ángulo que pasa por C viene dada por 2c=ab(a+b)2[(a+b)2c2] y por el teorema de Van Obel y el teorema de la bisectriz CIc=a+ba+b+c . De ello se deduce que, en general: CI2=ab(a+b+c)2[(a+b)2c2]=ab(a+bc)(a+b+c) y basta con demostrar que la hipótesis dada ( a2=b2+c2 ) garantizar ab(a+bc)(a+b+c)=(ac)2+b22 ou 2ab(a+bc)=(a+b+c)(a2+b2+c22ac). Esto es trivial, ya que la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de la última expresión es (b+ca)(a2b2c2).

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