Distancia del incentro al vértice agudo de un triángulo rectángulo

Question

Busco una prueba alternativa de este resultado:

Dado $\triangle ABC$ con ángulo recto en $A$ . Punto $I$ es la intersección de las tres líneas angulares. (Es decir, $I$ es el incentro de $\triangle ABC$ .) Demostrar que $$|CI|^2=\frac12\left(\left(\;|BC|-|AB|\;\right)^2+|AC|^2\right)$$

Mi prueba. Dibujar $ID \perp AB$ , $IE\perp BC$ y $IF\perp CE$ .

Tenemos $|ID|=|IE|=|IF|=x$ . Desde $\triangle ADI$ es triángulo isósceles rectángulo, también tenemos que $|AD|=|ID|=x$ . Respectivamente, tenemos: $$|ID|=|IF|=|IE|=|AD|=|AF|=x$$

$\triangle BDI=\triangle BEI \Rightarrow |BD|=|BE|=y$ . Y $|CE|=|CF|=z$

Tenemos:
$$|CI|^2=|CE|^2+|IE|^2=x^2+z^2 \tag{1}$$

Y $$\begin{align}\frac12\left(\left(|BC|-|AB|\right)^2+|AC|^2\right) &=\frac12\left(\left(\;\left(y+z\right)-\left(x+y\right)\;\right)^2+\left(x+z\right)^2\right) \\[4pt] &=\frac12\left(\left(x-z\right)^2+\left(x+z\right)^2\right) \\[4pt] &=\frac22\left(x^2+z^2\right) \\[4pt] &=x^2+z^2 \tag{2}\end{align}$$

En $(1);(2)$ hemos terminado. $\square$

Answer 1

Que el círculo sobre $B$ a través de $C$ cumplir la ampliación de $\overline{AB}$ en el punto $C^\prime$ . Por simetría y un poco de persecución de ángulos en isósceles $\triangle CBC^\prime$ encontramos que $\triangle CIC^\prime$ es un triángulo rectángulo isósceles. En consecuencia, $$|IC|^2 + |IC|^2 = |IC|^2 + |IC^\prime|^2 = |CC^\prime|^2 = |AC|^2 + |AC^\prime|^2 = |AC|^2 + ( |BC| - |AB| )^2$$

Answer 2

Sea $AB = c, AC = b, BC = a$ y que $IT\perp AC $ en $I$ . Entonces, $CI$ puede escribirse como $$\begin{split}CI^2 &= CT^2 + IT^2 \\&= \left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2\\&= \frac{2a^2+2b^2+2c^2-4ac}{4}\\&=\frac{(a-c)^2+b^2}{2} \\&=\frac{(BC-AB)^2+AC^2}{2}\end{split}$$

Answer 3

Prueba alternativa: por el teorema de Stewart la longitud $\ell_c$ de la bisectriz del ángulo que pasa por $C$ viene dada por $$ \ell_c^2 = \frac{ab}{(a+b)^2}\left[(a+b)^2-c^2\right] $$ y por el teorema de Van Obel y el teorema de la bisectriz $\frac{CI}{\ell_c}=\frac{a+b}{a+b+c}$ . De ello se deduce que, en general: $$ CI^2 = \frac{ab}{(a+b+c)^2}\left[(a+b)^2-c^2\right]=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)} $$ y basta con demostrar que la hipótesis dada ( $a^2=b^2+c^2$ ) garantizar $$ \frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)} = \frac{(a-c)^2+b^2}{2} $$ ou $$ 2ab(a+b-c) = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-2ac). $$ Esto es trivial, ya que la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de la última expresión es $$ (b+c-a)(a^2-b^2-c^2). $$