"Propiedad universal" del producto cruzado

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial euclidiano tridimensional orientado. Debido a la orientación, podemos definir el producto cruzado $\times: V^2 \rightarrow V$ exclusivamente por: $<v\times w,u> = \det(v,w,u)$ . Supongamos ahora que tenemos otro espacio vectorial real $W$ y que $c:V^2\rightarrow W$ sea una forma bilineal alterna. Intuitivamente, $\times$ debe tener algún tipo de propiedad universal, a saber, que obtenemos un único $\phi_c:V\rightarrow W$ tal que $\phi_c(\times) = c$ .

Intuitivamente tiene sentido, pero ¿cómo se puede demostrar? Me cuesta ver qué partes notables de $c$ para construir $\phi$ . Tenga en cuenta que esto forma parte de una tarea, por lo que se agradecerán más las pistas que las soluciones.

Gracias.

Answer 1

Existe otra propiedad universal relacionada y mucho más conocida, que es la propiedad universal de la álgebra exterior . En particular, existe una propiedad universal para cada $\Lambda^k(V)$ y el que necesitamos es el siguiente:

Propiedad universal del producto exterior : Sea $V$ sea un espacio vectorial. Dado cualquier mapa bilineal alterno $\mu: V\times V\rightarrow W$ existe un mapa lineal inducido unívocamente $\tilde{\mu}:\Lambda^2(V)\rightarrow W$ tal que $\tilde{\mu}\circ\wedge = \mu$ donde $\wedge:V\times V \rightarrow \Lambda^2(V)$ es el mapa del producto exterior.

El producto exterior está íntimamente relacionado con el producto cruzado. Usted debe ser capaz de traducir esta propiedad universal en la que usted necesita.