¿La era de la estocasticidad?

Question

Un usuario de MSE hizo un pregunta interesante que quedó sin respuesta, así que le sugerí que lo publicara aquí, pero se negó por motivos personales y dijo Podría preguntarlo aquí.

La cuestión es la siguiente:

Hoy he encontrado el artículo de D. Mumford de 1999 artículo El amanecer de la era de la Estocasticidad que es bastante notable incluso después de más de un década. El título ya indica el tema, pero copio el resumen para para comodidad del lector:

Durante más de dos milenios, la lógica de Aristóteles ha dominado el pensamiento de los intelectuales occidentales. de los intelectuales occidentales. Todas las teorías teorías, todos los modelos científicos, incluso los modelos del proceso del pensamiento mismo, se han ajustado en principio a la camisa de fuerza de la lógica. Pero desde sus turbios comienzos ideando estrategias de juego y contando cadáveres en el Londres Londres medieval, la teoría de la probabilidad y la interferencia estadística ahora emergen como mejores fundamentos para modelos científicos, especialmente los del el proceso del pensamiento y como ingredientes esenciales de la matemática teórica, incluso fundamento de las propias matemáticas. Proponemos que este cambio radical en nuestra perspectiva afectará prácticamente a todas las las matemáticas en el próximo siglo.

En el artículo propone una nueva enfoque de la ciencia matemática, poniendo variables aleatorias y estocasticidad en los fundamentos de matemáticas (en lugar de construirlas teoría de medidas), especialmente en teoría de ecuaciones diferenciales y inteligencia artificial.

Me pregunto cómo es esto programa ¿Te vas? Sé algo sobre ecuaciones diferenciales estocásticas de finanzas, y sé teoría de la probabilidad es fundamental para el aprendizaje inteligencia artificial.

Sin embargo, me parece que la estocasticidad aún está lejos de los fundamentos de matemáticas, y gran parte de las matemáticas todavía se rige por la lógica. Por supuesto, como licenciatura quizás estoy demasiado lejos de la frontera.

Así que alguien me puede decir cómo es esto programa? ¿Es realmente alguna ventaja en este nuevo enfoque que Mumford propuso?

¡Muchas gracias!

Answer 1

He aquí un ejemplo de algo que creo que Mumford podría defender en los fundamentos de las matemáticas: Modelo Solovay .

El axioma de elección es generalmente aceptado por los matemáticos, pero siempre ha adolecido del molesto problema de que viola ciertas intuiciones que tenemos. Casi todas estas consecuencias contraintuitivas del axioma de elección están relacionadas de un modo u otro con la existencia de conjuntos no medibles. (Véase esta pregunta relacionada con MO para más información, en particular la respuesta de Ron Maimon). El modelo de Solovay muestra que podemos estar cerca de tener nuestro pastel y comérnoslo también: Podemos tener simultáneamente los axiomas "todos los conjuntos de Lebesgue son medibles" y el axioma de elección dependiente. El primero elimina prácticamente todas las paradojas probabilísticas, mientras que el segundo nos proporciona casi todas las consecuencias "deseables" del axioma de elección.

La razón por la que creo que este es el tipo de cosas que Mumford podría defender es que la discusión de Mumford sobre el teorema de Freiling muestra que realmente quiere preservar la intuición probabilística incluso a costa de deshacerse de un axioma bien aceptado. En el artículo sugiere deshacerse del axioma del conjunto de potencias, pero mi opinión es que probablemente no estaba familiarizado con el modelo de Solovay en ese momento, y si lo hubiera estado, se habría mostrado favorable a él.

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EDITAR: En particular, en el modelo de Solovay, se cumplen todos los siguientes: (1) los axiomas de ZF, incluido el conjunto de potencias; (2) todos los conjuntos son medibles de Lebesgue (que es la mayor parte de lo que necesitamos para captar las intuiciones probabilísticas); (3) el axioma de simetría de Freiling; (4) la hipótesis del continuo en la forma "todo subconjunto incontable de ". $\mathbb R$ puede ponerse en correspondencia 1-1 con $\mathbb R$ ." El único precio que se paga es que hay que debilitar el axioma de elección a elección dependiente. (Gracias a Ali Enayat por señalarlo). Mi opinión es que el argumento de Freiling sólo demuestra que la intuición probabilística es incompatible con el AC pleno (que es algo que ya sabíamos); la hipótesis del continuo es una pista falsa.

Para más información sobre las repercusiones prácticas de la adopción del modelo de Solovay y algunas especulaciones sobre por qué no se ha adoptado ya de forma generalizada, véase esta pregunta del modus operandi y la respuesta de Andreas Blass a esta pregunta MO .

Answer 2

He aquí un resultado que da una idea del tipo de cosas de este tipo que espero ver en el futuro. Recuperar La indefinibilidad de la verdad de Tarski bajo supuestos adecuados, un sistema formal no puede estar equipado con un predicado de verdad $\text{True}$ tal que $\text{True}(G)$ sólo si $G$ es cierto. La razón es que bajo supuestos adecuados, podemos escribir una frase $G$ que equivale a $\text{True}(\neg G)$ (la paradoja del mentiroso), y entonces obtenemos una contradicción.

Christiano, Yudkowsky, Herreshoff y Barasz han demostrado recientemente, sin embargo, que un sistema formal puede estar dotado de un predicado de probabilidad $\mathbb{P}(G)$ que satisface un principio de reflexión más débil, a saber, que

$$\mathbb{P}(G) \in (a, b) \Leftrightarrow \mathbb{P}(\mathbb{P}(G) \in (a, b)) = 1.$$

Las correspondientes asignaciones de probabilidad a las frases pueden considerarse distribuciones de probabilidad sobre modelos de alguna teoría. Véase el proyecto para más detalles. (Descargo de responsabilidad: participé en pequeña medida en un taller uno de cuyos objetivos era ver hasta dónde se podía llevar este resultado).