¿Es cierto que para cada número entero positivo $n$ hay un primo $p>n,$ que divide $\prod_{i=1}^n (i^2+1)$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matt
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8
Para $n\geq 7$ , Erdős demostró en 1932 que existe un primer $n<p<2n$ de la forma $p=4k+1$ . De esto se deduce, por el comentario de KhashF, que $p$ divide $\prod_{i=1}^n (i^2+1)$ . Los casos restantes $1\leq n\leq 6$ son fáciles de comprobar a mano, por lo que la respuesta a la pregunta del OP es afirmativa.
Augie
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131
Una gran pregunta estudiada por muchos de los maestros.
Sea $P_n$ denota el mayor factor primo de este producto. Cebotarev demostró que $P_n/n \rightarrow \infty$ que da una respuesta completa a su pregunta asintóticamente. Hubo varias mejoras por Nagell y Erdős, y Hooley demostró que $P_n \gg n^{1 + 1/10}$ ver:
Hooley, Christopher, Sobre el mayor factor primo de un polinomio cuadrático Acta Math. 117 (1967) pp 281-299, doi: 10.1007/BF02395047 .
Esto responde a la pregunta (y más) en el rango asintótico. Para valores $n$ puedes usar el siguiente truco relevante para los argumentos de estos artículos (también veo que KhashF dice esto en los comentarios): toma un primo $n < p \le 2n$ de la forma $1 \mod 4$ y, a continuación, observe que $-1$ es un residuo cuadrático mod $p$ por lo que existe un $x < p/2 \ge n$ para que $x^2+1$ es divisible por $p$ . Así que ahora ganas suponiendo que $\pi(2n;4,1) > \pi(n;4,1)$ donde $\pi_1(x;4,1)$ es el número de primos menores o iguales que $x$ que son $1 \pmod 4$ . Ahora desempolva algunas estimaciones explícitas de estas cantidades. Más que suficiente para este propósito es:
Michael A. Bennett, Greg Martin, Kevin O'Bryant, Andrew Rechnitzer, Límites explícitos para primos en progresiones aritméticas Illinois J. Math. 62 Número 1-4 (2018) pp 427-532, doi: 10.1215/ijm/1552442669 , arXiv: 1802.00085 .
lo que demuestra que
$$\left|\pi(x;4,1) - \frac{Li(x)}{2} \right| \le (0.0005028) \frac{x}{(\log x)^2}$$
para $x \ge 5438260589$ . Esto es lo suficientemente bueno para ganar entonces para $n \ge 5438260589$ porque entonces
$$\pi(2x;4,1) - \pi(x;4,1) \ge \frac{Li(2x)}{2} - \frac{Li(x)}{2} - (0.0005028) \frac{2x}{(\log 2x)^2} - (0.0005028) \frac{x}{(\log x)^2} > 0. $$
Para los más pequeños $n$ puedes hacer el truco habitual de la escalera, por ejemplo
$$1^2 + 1 = 2,$$ $$2^2 + 2 = 5,$$ $$4^2 + 1 = 17,$$ $$14^2 + 1 = 197,$$ $$184^2 + 1 = 33857,$$ $$33794^2 + 1 = 1142034437,$$ $$1142034424^2 + 1 = 1304242625601011777,$$ $$1304242625601011736^2 + 1 = 1701048826434620873794109106809733697,$$ $$1701048826434620873794109106809733360^2 + 1 = q_0,$$ donde $q_0$ es primo, $$(q_0-131)^2 + 1 = q_1,$$ donde $q_1$ es primo, $$(q_1 - 185)^2 + 1 = q_2,$$ donde $q_2$ es primo, $$(q_2 - 483)^2 + 1 = q_3,$$ donde $q_3$ es primo, y... ¡la pila PARI se desborda! así que al menos es cierto para $$n \le q_3 = 491437705438594121865352195975\ldots6899550122553886277,$$ donde $q_3 > 10^{579}$ pero esto es mejor que el límite que ya establecimos, así que hecho. (Este último truco va lo suficientemente lejos como para que puedas utilizar estimaciones más cutres en el paso anterior si lo prefieres).
