Dos cohetes, A y B, están inicialmente próximos y sobre el mismo eje pero orientados en direcciones opuestas

Question

Supongamos que tenemos dos cohetes, A y B, y que inicialmente están próximos entre sí y en el mismo eje, pero orientados en direcciones opuestas. Sus masas son $m_A$ et $m_B$ respectivamente, excluido el combustible. Cohete A tiene combustible de masa total $M$ que es expulsado por la parte trasera a la velocidad $u_0$ . El cohete B no tiene combustible. El escape del cohete A es recogido por el cohete B sin pérdidas. Ambos cohetes están inicialmente en reposo en el espacio y no se ven afectados significativamente por la gravedad o la fricción. ¿Cómo obtendríamos una expresión para la velocidad del cohete B?

Estoy tratando de derivar una "ecuación de cohete" para el cohete B, mientras que en el marco de reposo del cohete A con sólo considerar el cambio en el impulso, sin embargo, esto no parece conducir a ninguna parte. ¿Alguna idea?

Answer 1

En este caso se aplicaría la ley de conservación del momento, como habrás adivinado. Así que el momento inicial de la eyección será igual al momento final del combustible y el cohete combinados. Esa masa será $M+m_b$ y tendrá una velocidad común.

Como señala Möbius, la masa de combustible depende del tiempo que se mantengan los cohetes en proximidad. Pero podemos averiguar la final velocidad.

Se puede tomar la velocidad final de la masa combinada de combustible y el cohete como $v$ . Así que..: $$p_{fuel} = v(m_b + M)$$ $$Mu_0 = v(m_b + M)$$ $$\therefore v = \frac{Mu_0}{m_b+ M}$$

Hágame saber si algo no está claro o si he entendido mal su pregunta.

Answer 2

Método señalado por Sid :

Por Ley de Conservación de la Energía: El momento inicial de la eyección es igual al momento final del combustible y del cohete combinados. Esa masa será $M+m_b$ y tendrá una velocidad común.

Se puede tomar la velocidad final de la masa combinada de combustible y el cohete como $v$ . Así que..: $$p_{fuel} = v(m_b + M)$$ $$Mu_0 = v(m_b + M)$$ $$\therefore v = \frac{Mu_0}{m_b+ M}$$

Este método señalado por Sid es un método muy útil en los casos en que toda la masa se transfiere al cuerpo de forma instantánea.

Sin embargo, consideremos un caso un poco más complicado que es exactamente por lo que estoy poniendo esta respuesta : Supongamos que la masa expulsada entra en B con una velocidad de $\alpha $ $kgs^{-1}$ ¿Cómo se calcula la velocidad del cohete en el momento en que una parte de la masa de combustible se transfiere al cohete y otra parte se queda en él? En primer lugar, la velocidad en este caso será variable y, por tanto, función del tiempo. $'t'$ Sea la velocidad en este instante $v_b$ Ahora en este tiempo la masa total de combustible que ha entrado en B es $\alpha t$ Esta masa tenía inicialmente una velocidad $u_0$ pero después de entrar en B tiene velocidad común $v_b$ . Entonces el momento final de esta masa de combustible y cohete es : $(\alpha t + m_b)v_b$ .

Momento final del cohete + combustible = momento inicial del cohete + combustible(Por Ley de Conservación del Momento) .... 1

Así que

Momento inicial del cohete = 0 (ya que la velocidad es 0)

Momento inicial del combustible = $\alpha t u_0$

Momento inicial del cohete + sistema de combustible = 0 + $\alpha t u_0$ = $\alpha t u_0$

El momento final de esta masa de combustible y cohete es : $(\alpha t + m_b)v_b$ .

de 1 arriba : $$ \alpha t u_0 = (\alpha t + m_b)v_b$$ $$ v_b = \frac{\alpha t u_0}{\alpha t + m_b}$$

Que es mi respuesta