Tres ángulos son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ ?

Question

Si $$\tan \alpha = 1, \text{ }\tan \beta = {3\over 2}, \text{ }\tan \gamma = 2,$$ entonces se deduce que $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ ?

Es posible probar combinaciones $m\alpha+n\beta+\ell\gamma$ con algunos coeficientes enteros pequeños $m,n,\ell$ . La herramienta para hacerlo es la fórmula de la suma de las tangentes de dos ángulos con tangentes conocidas: $$ \tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}. $$ Por ejemplo, a juzgar por una foto $\beta+2\gamma$ está relativamente cerca de $\pi=4\alpha$ pero los cálculos: $$ \tan 2\gamma=\frac{2+2}{1-2\cdot2}=-\frac43, $$ $$ \tan(\beta+2\gamma)=\frac{3/2-4/3}{1+(3/2)(4/3)}=\frac1{18} $$ muestran que no es una coincidencia.

Answer 1

Los ángulos son linealmente independientes.

Desde $\alpha$ es un múltiplo racional de $\pi$ la cuestión es si, dejando $\beta = \arctan 3/2$ y $\gamma = \arctan 2$ tenemos $$m\beta + n\gamma \equiv 0 \pmod{\pi}$$ para algunos enteros $m$ y $n$ , no los dos cero.

Si este fuera el caso, tendríamos $$1 = (e^{2i\beta})^m (e^{2i\gamma})^n = \left( \frac{2+3i}{2-3i}\right)^m \left( \frac{1+2i}{1-2i}\right)^n.$$ Pero como $2+3i$ , $2-3i$ , $1+2i$ , $1-2i$ son todos los elementos irreducibles no asociados en $\mathbf{Z}[i]$ que es un dominio de factorización único, esto es absurdo.