Elementos irreducibles en el anillo de series formales de potencias

Question

Tengo que demostrar que

Si $f(x)$ es un elemento irreducible en el anillo de series de potencias formales sobre $\mathbb{C}$ entonces $f(x)$ y $x$ son asociados. También el término constante tiene que ser $0.$

Lo intenté escribiendo $f(x) = g(x)h(x)$ donde uno de $g(x)$ o $h(x)$ es una unidad que finalmente da que el término constante $b_{0}$ de $g(x)$ ( digamos $g(x)$ es una unidad) es una unidad en $\mathbb{C}.$

Así que $b_0 = 1 $ o $-1$ o $i$ o $ -i.$

Por lo tanto, tenemos el término constante de $f(x)$ diga $a_0 = b_{0}c_{0}. c_0$ es el término constante de $ h(x)$ .

De nuevo pensaba que $\mathbb{C}[[x]]$ es una ufd, por lo que todo elemento irreducible será primo y a partir de ahí podemos resolver, pero no he podido pasar de ahí.

Después de esto no tengo ni idea. Creo que perdí. Alguien que me ayude. Gracias.

Answer 1

Primero: mostrar $f(x)$ es irreducible no se empieza con $f(x)=g(x)h(x)$ y el supuesto de que uno de $g$ y $h$ es una unidad. Debe demostrar que si $f(x)=g(x)h(h)$ , entonces una de $g$ o $h$ debe ser una unidad, y que $f$ no es una unidad.

Segundo: Las unidades de $\mathbb{C}$ son los números complejos distintos de cero, no sólo $1$ , $-1$ , $i$ o $-i$ .

Dado que un elemento del anillo de series de potencias es una unidad si y sólo si el término constante es una unidad, el hecho de que $f(x)$ es irreducible ya te dice que el término constante es $0$ . Eso significa que puede escribir $f(x)$ como $f(x) = xh(x)$ para alguna serie de potencias $h(x)$ . Pero $f(x)$ es irreducible, y $x$ no es una unidad, por lo tanto...