$f$ tiene un cero en $z_o$ y $g$ tiene un polo en $z_o$ . Demostrar que $fg$ tiene una singularidad extraíble en $z_o$ ?

Question

Problema: Supongamos que $f:D(z_o,R)\to C$ es analítica y tiene un cero de orden $m\ge1$ y que $g:D(z_o,R)\to C$ es analítica y tiene un polo de orden $l\le m$ en $z_o$ . Demostrar que $fg$ tiene una singularidad extraíble en $z_o$ .

Mi enfoque: Con el fin de demostrar que $fg$ tiene una singularidad removible en $z_o$ podemos demostrar que $fg$ está limitada como $z \rightarrow z_o$ o $|f(z_o)g(z_o)|\lt n \in N$ . Pero porque $f(z_o)=0$ con orden $\ge 1$ sólo tenemos que demostrar que $g(z)$ no se aproxima al infinito como $z \rightarrow z_o$ .

Mi pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que $g(z)$ está limitada como $z \rightarrow z_o$ ? Sé que $g$ tiene un polo de orden $l\le m$ en $z_o$ Así que $ \frac{1}{g} $ tiene un cero de orden $l\le m$ en $z_o$ . Sería fácil demostrar que $ \frac{1}{g} $ y, por lo tanto $ \frac{f}{g} $ tiene una singularidad extraíble, pero estoy atascado en probarlo para $fg$ .

Answer 1

Yo intentaría utilizar el siguiente resultado:

$f$ tiene una singularidad extraíble en $z=a$ sólo si $\lim_{z \to a} (z-a)f(z)=0$ .

Desde $f$ tiene un cero de orden $m$ en $z=z_o$ puede expresarse como $f(z)=(z-z_o)^m \alpha (z)$ ; $g$ tiene un orden de polos $l$ en $z=z_o$ por lo que puede expresarse como $g(z)=\frac{ \beta (z)}{(z-z_o)^l}$ .

Entonces $f(z)g(z)=(z-z_o)^{m-l} \alpha(z) \beta (z)$ multiplique por $z-z_o$ y luego tomar un límite.