Convergencia puntual en un subconjunto denso del dominio

Question

Digamos que $X$ y $Y$ son espacios vectoriales y para ser más exactos $Y$ es un subespacio denso de $X$ . Además tenemos que $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia en $X^*$ , $f\in X^*$ y que $f_n$ converge puntualmente a $f$ en $Y$ . ¿Podemos deducir utilizando argumentos de continuidad y densidad que $f_n$ converge puntualmente a $f$ en $X$ ?

Answer 1

Ahora no podemos. Dejemos que $X = c_0$ (las secuencias convergentes) y $Y = c_{00}$ , el subespacio de secuencias con son cero finalmente. Defina $f_n \in c_0^*$ por $$ f_n(x) = nx_n, $$ entonces, para cualquier $y \in c_{00}$ tenemos que $f_n(y) = 0$ finalmente, por lo tanto $f_n|_{c_{00}} \to 0$ puntualmente. Pero, para $x = (1/n) \in c_0$ tenemos $f_n(x) = 1$ para todos $n$ es decir $f_n \not\to 0$ .