Espacio nulo, espacio de columnas y rango con matriz de proyección

Question

Si tengo una matriz de proyección L en $\mathbb {R^4}$ Sólo me pregunto cómo transformaría L los vectores en el espacio nulo de $[L]$ y el espacio de las columnas. También estoy tratando de averiguar cómo estas piezas de información me permiten encontrar el rango y la nulidad de $[L]$ sin operaciones elementales de fila.

Para contextualizar, he aquí la pregunta:

$\text{The linear transformation of $ L:\mathbb {R^4}|rightarrow \mathbb {R^4} $ projects $ \mathbb {R^4} $ orthogonally}$ $\text{onto the subspace $ V=\text{span}\ {a,b} $, with}:$

$a=(1,1,1,1)$

$b=(4,2,1,2)$

$\text { (a) How does L transform vectors transform vectors in the null space of [L]?}$

$\text { (b) How does L transform vectors transform vectors in the Column space of [L]?}$

$\text {(c)Explain how the answers to parts (a) and (b) }$ $\text{enable you to find the rank and the nullity of [L] without row reduction.}$

Estoy mirando las notas aquí pero me cuesta encontrar un razonamiento. Puedo ver que el espacio nulo y el espacio de columnas son ortogonales entre sí, pero no estoy muy seguro de cómo eso podría explicar la transformación o ayudar con la parte $(c)$ de ninguna manera.

Si alguien pudiera darme un empujoncito en la dirección correcta, ¡sería estupendo!

Quiero decir que siento que el espacio nulo entra en juego de alguna manera porque estoy haciendo proyecciones y como quiero que la matriz sea ortogonal, el producto punto tiene que ser $0$ así que estoy tratando de ver si puedo relacionar eso de alguna manera. El hecho de que estoy escribiendo los vectores como columnas siento que tiene que ver con algo en el espacio de columnas, pero no estoy del todo seguro de eso....

Por parte $(c)$ Me parece que tengo que utilizar el teorema de la nulidad del rango de alguna manera, pero no estoy seguro de ello...

Answer 1

Parte (a): Por definición, el espacio nulo de la matriz $[L]$ es el espacio de todos los vectores que se envían a cero cuando se multiplican por $[L]$ . Equivalentemente, el espacio nulo es el conjunto de todos los vectores que se envían a cero cuando la transformación $L$ se aplica . $L$ transforma todos los vectores de su espacio nulo en el vector cero, sea cual sea la transformación $L$ resulta ser.

Tenga en cuenta que, en este caso, nuestro espacio nulo será $V^\perp$ el complemento ortogonal de $V$ . ¿Puedes ver por qué esto es así geométricamente?

Parte (b): En términos de transformaciones, el espacio de columnas $L$ es el gama o imagen de la transformación en cuestión. En otras palabras, el espacio de columnas es el espacio de todas las salidas posibles de la transformación. En nuestro caso, la proyección sobre $V$ siempre producirá un vector de $V$ y a la inversa, cada vector en $V$ es la proyección de algún vector en $V$ . Concluimos, pues, que el espacio de columnas de $[L]$ será la totalidad del subespacio $V$ .

Ahora, ¿qué ocurre si tomamos un vector de $V$ y aplicar $L$ (nuestra proyección sobre $V$ )? Pues bien, como el vector está en $V$ ya está proyectada"; aplanarla sobre $V$ no lo cambia. Por lo tanto, para cualquier $x$ en $V$ (que es nuestro espacio de columnas), encontraremos que $L(x) = x$ .

Parte (c): El rango es la dimensión del espacio de columnas. En este caso, nuestro espacio de columnas es $V$ . ¿Cuál es su dimensión? Bueno, es el tramo de dos vectores linealmente independientes, por lo que $V$ es 2 dimensiones . Por lo tanto, el rango de $[L]$ es $2$ .

Sabemos que la nulidad es $V^\perp$ . Desde $V$ tiene dimensión $2$ en el $4$ -dimensional $\Bbb R^4$ , $V^\perp$ tendrá dimensión $4 - 2 = 2$ . Por lo tanto, la nulidad de $[L]$ es $2$ .

Alternativamente, bastaba con conocer el rango: el teorema de rango-nulidad nos dice que como la dimensión del espacio global (de partida) es $4$ y el rango es $2$ la nulidad debe ser $4 - 2 = 2$ .