Debo probar que $\mathbb{Q}$ es un campo primo, es decir $\mathbb{Q}$ no posee ningún subcampo propio.
Suponemos que $K\subset\mathbb{Q}$ es un subcampo propio de $\mathbb{Q}$ y consideramos el morfismo $f\colon\mathbb{Z}\to K$ definido como $n\mapsto n\cdot 1$ . En $\ker f$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ entonces $\ker f=(m)$ donde $m\in\mathbb{Z}$ . Si $m=0$ tenemos que $\mathbb{Z}\cong f(\mathbb{Z})\subseteq K\subseteq\mathbb{Q}$ en particular $\mathbb{Z}\subseteq K$ entonces $\text{Frac}(\mathbb{Z})\subseteq K$ pero $\text{Frac}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$ entonces $\mathbb{Q}\subseteq K$ .
Pregunta . En la situación actual podría ocurrir que $m\ne0$ ?
Mi intento Si $m\ne 0$ entonces $\mathbb{Z}_m \cong f(\mathbb{Z})\subseteq K$ entonces como $K$ es un campo $f(\mathbb{Z})$ debe ser un dominio integral, entonces $m$ debe ser un primo $p$ Por lo tanto $\mathbb{Z}_p \cong f(\mathbb{Z})\subseteq K\subset\mathbb{Q}$ . Ahora, ¿puedo concluir?
Gracias
