Integrales estocásticas y tiempos de parada

Question

Supongamos que $\{H(s,\omega): s\ge 0 , \omega \in \Omega \}$ es progresivamente medible y $\{ B(t): t \ge 0\}$ un movimiento browniano lineal. Demostrar que para cualquier tiempo de parada T con: $\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} H(s)^2 ds \right] < \infty$ que tenemos:

(a) $\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} H(s) dB(s) \right]=0$

(b) $\mathbb{E} \left[ \left( \int_{0}^{T} H(s) dB(s) \right)^2 \right] = \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} H(s)^2 ds \right]$ .

He intentado utilizar varios lemas como aproximaciones por procesos progresivamente medibles. No entiendo muy bien por qué T debe ser un tiempo de parada. ¿Si aplico el teorema de parada opcional para (a) funcionaría? También podríamos definir el proceso $H^T(s, \omega)$ tal que $\int_{0}^{T} H(s) dB(s)= \int_{0}^{\infty} H^T(s)dB(s)$ y tratar de trabajar con eso. Estoy un poco confundido de lo que debería funcionar en este caso. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Sea $M(t) = \int_0^{t \wedge T} H(s) dB(s)$ . Entonces $M(t)$ es una martingala local detenida y, por lo tanto, también es una martingala local.

Además, $\langle M \rangle_t = \int_0^{t \wedge T} H(s)^2 ds$ por lo que su suposición da $\mathbb{E}[\langle M \rangle_\infty] < \infty$ . Es un resultado estándar que esto implica que $M$ es un $L^2$ -y $\mathbb{E}[M(\infty)^2] = \mathbb{E}[M(0)^2] + \mathbb{E}[\langle M \rangle_\infty]$ . Por lo tanto $$\mathbb{E}[\int_0^T H(s)dB(s)] = \mathbb{E}[M(\infty)] = \mathbb{E}[M(0)] = 0$$ y de forma similar $$\mathbb{E}[\bigg(\int_0^T H(s)dB(s)\bigg)^2] = \mathbb{E}[\langle M \rangle_\infty] = \mathbb{E}[\int_0^T H(s)^2 ds]$$ como desee.