La variable aleatoria tiene distribución Poisson

Question

Sea $\Omega = \mathbb{N}_0^2, \mathcal{A}=Pot(\Omega)$ y $\mathbb{P}$ el producto de dos distribuciones poisson con parámetro $\lambda_1,\lambda_>0$ es decir $$ \mathbb{P}(\{(n_1,n_2)\})=\frac{\lambda_1^{n_1} \lambda_2^{n_2}}{n_1!n_2!} e^{-\lambda_1-\lambda_2}$$ Definir entonces $X:\Omega\rightarrow \mathbb{N}_0,\ (n_1,n_2)\mapsto n_1+n_2$ . Demostrar que X tiene distribución de Poisson con parámetro $\lambda_1+\lambda_2$

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He visto varias pruebas similares a esta, Distribución de Poisson de la suma de dos variables aleatorias independientes $X$ , $Y$ pero son básicamente entre variables independientes. En este trabajo se trata de una sola variable aleatoria. Entonces lo que hay que probar es que
$X$ ~ $\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)$
Mi intento \begin{align}\mathbb{P}(X=n) &=\mathbb{P}(n_1+n_2=n)\\&=\sum_{k=0}^n\mathbb{P}(n_1=k,n_2=n-k)\\&= \sum_{k=0}^n\mathbb{P}(n_1=k)\mathbb{P}(n_2=n-k) \\&=\sum^n_{k=0}\frac{\lambda_1^k\lambda^{n-k}}{k!(n-1)!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \\&=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^n}{n_!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \end{align} Esto es obviamente suficiente para $X$ ~ $\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)$

Pero lo que me preocupa es que, en los paréntesis de $\mathbb{P}$ ¿puedo utilizar este tipo de notación? $n_1=k, n_2=n-k$ porque por lo que he aprendido, en los brackts debe ser una variable aleatoria igual a algún número real, como $\mathbb{P}_X(\{t\})=\mathbb{P}(X=t)$ , pero en la prueba es un número real igual a algún número real, no sé si es correcto

Answer 1

Su prueba tiene esencialmente las ideas correctas. Creo que tu confusión proviene simplemente de cómo estás construyendo el espacio de probabilidad.

Su espacio de probabilidad es explícitamente el espacio producto $(\mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0, \mathcal{P}(\mathbb{N}_0) \otimes \mathcal{P}(\mathbb{N}_0), \mathbb{P}_{\lambda_0} \times \mathbb{P}_{\lambda_1})$ donde $\mathbb{P}_{\lambda}$ es la medida de probabilidad de Poisson sobre $(\mathbb{N}_0, \mathcal{P}(\mathbb{N}_0))$ . Dado que se han definido explícitamente las probabilidades en los enteros no negativos, no se necesita una variable aleatoria para mapear desde otro espacio de probabilidad subyacente: ya se tiene $\mathbb{P}_{\lambda_0}(\{ n_1 \}) = \frac{\lambda_1^{n_1}}{n_1!} e^{-\lambda_1}$ para todos $n_1 \in \mathbb{N}_0$ .

Punto técnico: Recordemos que una medida de probabilidad se define sobre conjuntos en el álgebra sigma. Para una medida discreta, basta con definirla sobre los singletons $\{ \{ n \} : n \in \mathbb{N}_0 \}$ .)

Así, para "arreglar" la notación en su prueba, podemos escribir $$ \begin{align} \mathbb{P}(X = n) &= \mathbb{P}(\{ (n_1, n_2) : X(n_1, n_2) = n \}) \\ &=\mathbb{P}(\{ (n_1, n_2) : n_1 + n_2 = n \}) \\ &= \mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^n \{ (n_1, n_2) : n_1 = k, n_2 = n - k \} \right) = \dots \end{align} $$ La primera línea simplemente aclara lo que la notación habitual $\mathbb{P}(X = n)$ significa: es la probabilidad del suceso en el que la variable aleatoria toma un determinado valor (es decir, el conjunto de 2-tuplas $(n_1, n_2)$ que se suman a $n$ ). El resto continúa como has escrito. Después de dividir en una suma (por aditividad), para cada $0 \leq k \leq n$ tendremos $\mathbb{P}(\{ (n_1, n_2) : n_1 = k, n_2 = n - k \}) = \mathbb{P}_{\lambda_1}(\{ k \}) \mathbb{P}_{\lambda_2}(\{ n - k\})$ ya que tenemos una medida de producto.

De hecho, esta notación no es tan fácil de entender como la notación habitual de variable aleatoria (que permite una forma de pensar más "probabilística"). Abstrayéndonos del espacio de probabilidad subyacente, podemos decir simplemente que $X_1 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_1)$ y $X_2 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_2)$ son dos variables aleatorias independientes en el mismo espacio de probabilidad, de modo que para $X = X_1 + X_2$ podemos escribir simplemente $\mathbb{P}(X = n) = \mathbb{P}(X_1 + X_2 = n) = \sum_{k=0}^n \mathbb{P}\left( X_1 = k, X_2 = n-k\right) = \dots$ . La clave es que las medidas de producto son esencialmente lo mismo que las variables aleatorias independientes.

Answer 2

Tu argumento es bueno hasta la segunda línea: a partir de ahí utiliza directamente la definición de $\mathbb{P}$ (es decir, sin referirse a ninguna "independencia" en mente, ni siquiera ser consciente de ella). También elaboro un poco las dos primeras líneas de tu argumento.
\begin{align} & \mathbb{P}(X = n) \\ =& \mathbb{P}(\{(n_1, n_2): n_1 + n_2 = n\}) \\ =& \mathbb{P}\left(\{(n_1, n_2): n_1 + n_2 = n\} \bigcap \bigcup_{k = 0}^\infty\{(n_1, n_2): n_1 = k\}\right) \tag{1} \\ =& \mathbb{P}\left(\bigcup_{k = 0}^\infty(\{(n_1, n_2): n_1 + n_2 = n\} \cap \{(n_1, n_2): n_1 = k\})\right) \tag{2} \\ =& \mathbb{P}\left(\bigcup_{k = 0}^n(\{(n_1, n_2): n_1 + n_2 = n\} \cap \{(n_1, n_2): n_1 = k\})\right) \tag{3} \\ =& \mathbb{P}\left(\bigcup_{k = 0}^n\{(n_1, n_2): n_1 = k, n_2 = n - k\}\right) \\ =& \sum_{k = 0}^n\mathbb{P}(\{(n_1, n_2): n_1=k, n_2=n-k\}) \tag{4} \\ =& \sum_{k = 0}^n\mathbb{P}(\{(k, n - k)\}) \\ =& \sum^n_{k=0}\frac{\lambda_1^k\lambda_2^{n-k}}{k!(n - k)!}e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \tag{5} \\ =& \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^n}{n!}e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}. \end{align}

Esto demuestra $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$ .

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Explicación de los detalles:

$(1)$ : porque $\Omega = \bigcup_{k = 0}^\infty\{(n_1, n_2): n_1 = k\})$ .

$(2)$ : operación de ajuste.

$(3)$ : cuando $k > n$ la intersección es $\emptyset$ .

$(4)$ : Estos $n$ son disjuntos.

$(5)$ : Utilice la especificación de $\mathbb{P}$ directamente.