Espacios invariantes Diffeomorphism de funciones lisas

Question

Vamos a empezar con una historia interesante. En su célebre Diferencial Parcial de las Relaciones (p. 146), el gran Misha Gromov le da un agradable ejercicio de las cuales la siguiente es una (estricto) de parte.

Ejercicio. Considere la posibilidad de la acción de la $\mathrm{Diff}(\mathbb R^n)$ sobre el espacio $C^\infty(\mathbb R^n)$ de las funciones lisas $\mathbb R^n \to \mathbb R$. Entonces

• si $n\geq 2$, entonces hay exactamente seis (no trivial) subespacios invariantes;

• si $n = 1$, entonces hay diez de ellos.

Es muy fácil encontrar los subespacios invariantes de Gromov es pensar (tengo que dar ningún spoiler...). El problema es que, según estos dos mensajes de C. McMullen, el ejercicio es en realidad falso.

McMullen del contraejemplo es el siguiente: tomar un espacio de secuencia $S \subset \mathbb R^\mathbb N$ y la función de definir el subespacio $$\mathscr E[S] = \left\{ f \in C^\infty(\mathbb R) \,\middle|\, \forall (x_n)_n \in \mathbb R^\mathbb N, |x_n| \xrightarrow[n\to\infty]{} \infty \Longrightarrow (f(x_n))_n \in S\right\}.$$ Esto es claramente una $\mathrm{Diff}(\mathbb R)$-subespacio invariante de $C^\infty(\mathbb R)$. McMullen afirma que el espacio de secuencias de $$\mathrm{bv} = \left\{(a_n)_{n\in\mathbb N}\,\middle |\, \sum_{k} |a_{k+1} - a_k| < +\infty \right\}$$ ya da un ejemplo de un "exótico" subespacio invariante $\mathscr E[\mathrm{bv}]$ (es decir, diferente de Gromov diez ejemplos) y que es fácil de modificar para dar una cantidad no numerable de dichos subespacios invariantes.

Tengo dos preguntas:

1. Se puede demostrar McMullen afirmaciones?
2. Si $n\geq 2$, existe un subespacio invariante que no es de la forma $\mathscr E[S]$? (si $n = 1$, el espacio de $\mathscr E[S]$ no hace ninguna diferencia entre los dos extremos de la $\pm \infty$ $\mathbb R$ tan sólo seis de Gromov diez subespacios son de este formulario).

Answer 1

EDIT: he dejado la respuesta original a continuación, pero creo que el espacio de secuencia $\mathcal{E}[bv]$ como se define en la pregunta y su variación se define a continuación es sólo el espacio de funciones que son constantes en un barrio de $\infty$, y supongo que este es uno de los "estándar" espacios de Gromov menciona. Solo para aclarar, yo solía $m$ como índice desde $n$ es utilizado para la dimensión del espacio.

Si una función $f$ no es constante en un barrio de $\infty$, existe una secuencia de puntos de $y_k \to \infty$ tal que $f(y_k) \ne f(y_l)$$k \ne l$. Elija ahora enteros $N_k > 1/|f(y_k) - f(y_{k+1})|$, y definir la secuencia de $(x_m)$ concatenando $N_1$ pares de $y_1, y_2$, $N_2$ pares de $y_2, y_3$, en general $N_k$ pares de $y_k, y_{k+1}$. Por la elección de los números enteros, la variación en la secuencia de $f(x_m)$ sobre el $N_k$ pares de $f(y_k), f(y_{k+1})$ es mayor que 1 para cada $k$, por lo que la variación total es infinito.

En el caso de $n=1$ uno podría modificar la definición y restringir a la monotonía de las secuencias de $(x_m)$, en cuyo caso los espacios de finito $p$-variación son todos distintos, lo que puede ser mostrado usando las funciones de la forma$f(x) = \frac{\sin x}{x^\alpha}$$x \ge 1$. Sin embargo, no veo ninguna modificación similar que trabaje en dimensión mayor que 1.

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ORIGINAL RESPUESTA: no sé la respuesta a la segunda pregunta, pero para la primera parte parece que la sustitución de finito variación finita $p$-variación $p>1$ conduce a un incontable (anidada) de la familia de subespacios invariantes. I. e., en lugar de bv considerar la secuencia de espacio $$ \mathrm{vb}^p = \left\{ (a_n) : \sum_n |a_{n+1}-a_n|^p < \infty \right\} $$