Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función continua. Supongamos que $$f(x)=\frac{1}{t}\int_0^t(f(x+y)-f(y))dy$$ para todos $x\in\mathbb{R}$ y todos $t>0$ . Demuestre entonces que existe una constante $c$ tal que $f(x)=cx$ para todos $x$ .
Mi enfoque: Se da que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua. Esto implica que por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, podemos concluir que $f$ tiene una antiderivada. Sea $F$ . Por lo tanto, tenemos $F'(x)=f(x), \forall x\in\mathbb{R}.$ Ahora $$f(x)=\frac{1}{t}\int_0^t(f(x+y)-f(y))dy=\frac{1}{t}\int_0^tf(x+y)dy-\frac{1}{t}\int_0^tf(y)dy$$ $$=\frac{1}{t}[F(x+y)]_0^t-\frac{1}{t}[F(y)]_0^t=\frac{F(x+t)-F(x)-(F(t)-F(0))}{t}...(1).$$ (1) se debe al segundo FTC.
Es trivial observar que $f(0)=0$ .
Esto implica que $$f(x)=\frac{F(x+t)-F(x)-(F(t)-F(0))}{t}, \forall x\in\mathbb{R},$$ y $\forall t>0$ .
Consideremos ahora la función $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $$G(x)=\frac{F(x+t)-F(x)}{t}, \forall x\in\mathbb{R}$$ y algunos $t>0$ .
Ahora que $F$ es continua y diferenciable $\forall x\in\mathbb{R}$ implica que $G$ también es continua y diferenciable $\forall x\in\mathbb{R}$ .
Ahora $$G'(x)=\frac{1}{t}\left\{F'(x+t)-F'(x)\right\},$$ $\forall x\in\mathbb{R}$ .
Elijamos cualquiera $x>0$ y aplicar MVT a la función $G$ en el intervalo $[0,x]$ . Por lo tanto, podemos concluir que $\exists c'\in(0,x)$ tal que $$G'(c')=\frac{G(x)-G(0)}{x}.$$ Esto implica que $$G(x)-G(0)=x.G'(c')=x.\frac{1}{t}\left\{F'(c'+t)-F'(c')\right\}$$ $$=x.\frac{1}{t}\left\{f(c'+t)-f(c')\right\}.$$ Ahora $$G(x)-G(0)=f(x)-f(0)=f(x)$$ $$\implies f(x)=x.\frac{1}{t}\left\{f(c'+t)-f(c')\right\}=x.c$$ donde $c=\frac{1}{t}\left\{f(c'+t)-f(c')\right\}$ es una constante.
Por lo tanto $\forall x>0,$ tenemos $f(x)=cx$ para alguna constante $c$ . Un análisis similar para cualquier $x<0$ nos ayuda a concluir que $f(x)=cx,$ $\forall x<0$ y alguna constante $c$ . Y ya tenemos $f(0)=0$ . Pero el problema es que no hemos demostrado que $c$ es idéntico $\forall x\in\mathbb{R}$ . ¿Cómo mostrar lo mismo?
