La intuición detrás $\lambda$ -subobjetos puros

Question

Al leer sobre categorías accesibles en Categorías localmente presentables y accesibles Me encontré con la noción de $\lambda$ -subobjetos puros, que parecen ser importantes a la hora de caracterizar subcategorías accesibles de una categoría accesible.

¿Cuál es la intuición para considerar esta clase concreta de subobjetos? ¿Es sólo porque es la clase más pequeña de subobjetos que contiene subobjetos divididos y que está cerrada bajo $\lambda$ -¿Colímites dirigidos?

Answer 1

Piense en la categoría de estructuras en alguna firma $\Sigma$ . El functor representado por un objeto finitamente presentable $F$ corresponde a algún término del lenguaje generado por $\Sigma$ . Por ejemplo, supongamos que $\Sigma$ es la firma de los campos, y $F = \mathbb{Q}[x]/(f(x))$ para algún polinomio irreducible $f(x)$ . Entonces un morfismo $F \to K$ corresponde a un elemento $\alpha \in K$ que satisface la ecuación $f(\alpha) = 0$ . Sea $I$ sea la estructura inicial en este lenguaje. Si $\phi: K \to L$ es un morfismo, entonces decir que $\phi$ es $\omega$ -con respecto al morfismo $I \to F$ es decir lo siguiente: si $f$ tiene una raíz en $L$ entonces ya tiene una raíz en $K$ . Esto significa que el morfismo $K \to L$ refleja la satisfacción de la fórmula $\exists x f(x) = 0$ .

Mediante morfismos $F_1 \to F_2$ donde $F_1$ no es inicial, podemos hacer algo similar para fórmulas con parámetros en $K$ . Por ejemplo, supongamos que $F_1$ es el campo $\mathbb{Q}[x] / f(x)$ y $F_2$ es el campo $F_1[y] / g(x,y)$ para algún polinomio $g$ . Entonces $\omega$ -pureza con respecto a la inclusión $F_1 \to F_2$ dice que si $\alpha$ es una raíz de $f$ en $K$ y si hay una raíz de $g(\alpha,y)$ en $L$ entonces ya existe una raíz de $g(\alpha,y)$ en $K$ .

Así que, básicamente, la pureza de un morfismo $K \to L$ significa que ciertos tipos de declaraciones de existencia, si se satisfacen en $L$ ya se cumplen en $K$ . Esto dice que hay un "principio de reflexión" para la inclusión $K \to L$ si puedes resolver una ecuación en $L$ entonces ya puede resolverlo en $K$ . Esto no quiere decir que $K \to L$ es una incrustación elemental, pero sí dice que el mapa es elemental con respecto a algún $\Sigma_1$ fórmulas.