¿Son rígidos los poliedros con caras triangulares equiláteras?

Question

Los poliedros convexos son rígidos por el teorema de Cauchy. El poliedro de Steffen es un ejemplo de poliedro no convexo que es flexible (es decir, no rígido). Sin embargo, parece tener aristas de diferentes longitudes. Mi pregunta: ¿existen poliedros flexibles con caras triangulares equiláteras? Me interesa tanto la flexibilidad finita como la infinitesimal (no trivial).

Motivación: Tengo un juego de construcción magnético de barras y bolas y me gustaría construir un poliedro flexible. Pero todas las barras que tengo tienen la misma longitud.

Publicado en math.stackexchange

Answer 1

Esto depende de cómo se defina un "poliedro". Si se acepta un rombo doblemente cubierto (dos copias de dos triángulos equiláteros adyacentes), entonces no. Pero en condiciones razonables de no degeneración, la respuesta suele ser sí. Trabajamos en este problema en nuestro reciente Cúpulas sobre curvas en colaboración con Alexey Glazyrin (véase $\S$ 5.2). Si existiera un poliedro flexible de este tipo se refutarían algunas conjeturas de la zona que creemos ciertas. De todos modos, tu pregunta está formalizada como Conjetura 5.5 donde también tenemos mucho contexto sobre el tema.

P.D. Tanto Alexey como yo dimos varias charlas en Zoom sobre este trabajo. Puedes encontrar los enlaces en mi sitio web .

Answer 2

En Octaedro Bricard no es formalmente un poliedro, pero puede hacerse a partir de triángulos isósceles; es flexible y puede hacerse a partir de una construcción magnética de barras y bolas.