problemas para conciliar el desplazamiento doppler con la energía y el momento de la luz

Question

[Ver los últimos añadidos al final para replantear la paradoja].

He visto en un par de sitios la afirmación de que si se atrapa la luz en un resonador reflectante, o en cualquier otro tipo de trampa sellada, entonces (como dijo otro usuario aquí al responder a una pregunta diferente) "calculando el desplazamiento Doppler en cada extremo y luego encontrando la diferencia entre los momentos de los fotones rojo y azul", se puede demostrar que es equivalente a "la misma masa ". $m$ ... que define cómo responde a la fuerza". El momento neto de la luz coincidirá con el de una masa equivalente que se mueva a la velocidad del resonador, la energía neta coincidirá con la energía total relativista de esa masa a esa velocidad, y la fuerza neta al ser acelerada coincidirá con la inercia de esa masa, todo ello debido a los desplazamientos Doppler.

He estado intentando hacer este cálculo, obteniendo las frecuencias desplazadas por doppler y luego hallando el cambio de energía y momento que resulta de verlo en otro sistema de referencia, para demostrar que son iguales a la energía y momento de una masa en reposo equivalente con la velocidad del resonador que la encierra. Pero no puedo hacerlo, los resultados siguen siendo erróneos.

Según tengo entendido, se calculan los desplazamientos doppler con un factor de $\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$ donde $\beta$ es la fracción de la velocidad de la luz en la que los fotogramas difieren en velocidad. Lo llamaré $R$ . También puede expresarse como $\gamma(1-\beta)$ donde $\gamma$ es el factor de Lorentz $1/\sqrt{1-\beta^2}$ . Si lo he entendido bien, cuando una fuente de luz se aleja, la luz que se observa tiene su longitud de onda dividida por $R$ y su frecuencia multiplicada por $R$ . Pero si la luz incide en un espejo en movimiento, el factor debe aplicarse dos veces: la luz saliente se desplaza en $R^2$ .

Así que modelé un resonador simple, o láser, y observé una pequeña muestra de luz en él, que podría ser un fotón. En su estado de reposo, el láser tiene una longitud $d$ y la muestra luminosa tiene una frecuencia $f$ Longitud de onda $\lambda$ y energía $E$ . Así que cuando se mueve la luz hacia adelante tendrá frecuencia $f/R$ y longitud de onda $\lambda R$ y viceversa para la luz de marcha atrás. Y la energía es proporcional a la frecuencia. Y pensé que si promediábamos el momento hacia delante con el momento hacia atrás obtendríamos el total, y lo mismo para la energía. Esto me llevó a un par de fórmulas ingenuas de primera aproximación: para el momento, $\frac{1}{2}(\frac{1}{R} – R)Ec$ y para la energía, $\frac{1}{2}(\frac{1}{R} + R)E$ . Para un ejemplo numérico, considere $\beta=\frac{1}{2}$ en este caso $R=\sqrt{\frac{1}{3}}$ y la luz azul desplazada hacia delante tiene tres veces la frecuencia de la luz roja desplazada hacia atrás. La energía resultante es $1.1547E$ y el impulso es $0.57735E/c$ que son correctas. Luego hice un poco de álgebra y verifiqué que esta fórmula del momento es efectivamente equivalente a $\gamma\beta E/c$ y la fórmula energética equivale a $\gamma E$ . Problema resuelto, ¿verdad?

No tan rápido. Entonces me di cuenta de un problema. Había estado haciendo un simple promedio de los globos de luz hacia adelante y hacia atrás, darles la misma importancia . Pero la luz no tiene el mismo peso. Pasa más tiempo avanzando que retrocediendo. En el $\beta=\frac{1}{2}$ caso, dedica tres cuartas partes de su tiempo a avanzar y una cuarta parte a retroceder. Esto significa que, en un momento dado, tres cuartas partes de los fotones del láser van hacia delante y tienen energía desplazada hacia el azul en lugar de hacia el rojo.

Aquí, he hecho un diagrama espacio-temporal de la misma:

Otra forma de verlo es que si el desplazamiento Doppler aumenta la frecuencia en $R$ aumenta la potencia en $R^2$ . La tasa de recepción de fotones por segundo aumenta, así como la energía de cada fotón. Lo mire como lo mire, tengo que concluir que, en este caso, hay nueve veces más energía e impulso en la luz que avanza que en la que retrocede: tres veces más fotones con tres veces más fuerza cada uno.

Pero esto produce un resultado completamente erróneo cuando intento comparar la masa o energía resultante con lo que debería ser. Por ejemplo, en lugar de $1.1547E$ para la energía, obtengo $1.443E$ . Obtuve esto ponderando la luz delantera por $(1+\beta)$ y la luz de retroceso por $(1-\beta)$ antes de promediar. Y eso es demasiado, violando aparentemente la conservación de la energía.

¿En qué me he equivocado?

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Actualización: En una actualización anterior que he borrado, dije que pensaba que estaba llegando a una respuesta. Me equivoqué. Me engañé a mí mismo y no me di cuenta de que estaba volviendo sutilmente al marco de referencia del descanso.

Durante el tiempo que creí que mi nuevo enfoque funcionaba, hice un nuevo diagrama espaciotemporal, mostrando un resonador de funcionamiento más continuo, que en un momento dado abre sus dos espejos, arrojando la mitad de la luz por cada extremo:

Este diagrama confirma que a velocidad $\frac{1}{2}c$ los fotones o frentes de onda que se desplazan hacia la derecha son tres veces más frecuentes, tanto en el espacio como en el tiempo, que los que se desplazan hacia la izquierda. (Aunque si se mide a lo largo de las diagonales del fotograma de reposo todo está igualado.) Esta diferencia en fotones por segundo es suficiente para explicar completamente todo el cambio esperado de energía neta en el sistema, sin dejar espacio para que cada fotón tenga también una energía diferente debido a su cambio de frecuencia.

Mientras estaba en ello, refundí algunas de mis ecuaciones utilizando energía momentánea en términos de energía continua. En ellas, la "masa" de la luz es $2Pd/c^3$ donde $P$ es la potencia en una dirección en el marco de reposo. No hubo sorpresas y dejó la pregunta sin cambios. El estado potenciado sigue teniendo demasiada energía en relación con el estado de reposo.

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Actualización posterior, ignorando los espejos : Intenté aclarar exactamente cómo cambiaría la energía con el marco de referencia, y acabé ignorando los espejos y mirando dos haces de luz opuestos, que tienen frecuencias y potencias iguales en el marco de reposo. ¿Cuánta energía tiene cada rayo dentro de una ventana de longitud $d$ ? La energía es $hfk$ donde $h$ es la constante de Planck y $k$ es el recuento de fotones. ¿Cómo se transforma cuando la ventana se mueve a la velocidad $\beta$ ? Creo que $d_\beta=d_0/ \gamma$ , $f_\beta=f_0/R$ y $k_\beta=k_0(1+\beta)=k_0/\gamma R$ . Cuando se desplaza al azul, caben más fotones en la ventana (la densidad de fotones cambia con la frecuencia), pero el estrechamiento de la ventana reduce un poco esa cantidad. Así que $E_\beta=E_0(1+\beta)/R = E_0\gamma(1+\beta)^2$ . A continuación, se aplicaría un impulso de $-\beta$ a la viga opuesta. Obsérvese que el recuento total de fotones sigue siendo $2k_0$ . La energía total es $E_\beta+E_{-\beta}$ y eso se supone que suma $2\gamma E_0$ (la energía que tendría una masa equivalente a esa velocidad), pero no es así. [Edición: suma $2\gamma(1+\beta^2)E_0$ como en la respuesta de udrv].

Análogamente, el momento en cada dirección sería $p_\beta=E_0(1+\beta)/Rc$ y el total sería $p_\beta-p_{-\beta}$ . Se supone que eso suma $2\beta\gamma E_0/c$ . No es así.

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Resumen, tras la respuesta de udrv: Ahora tenemos un total de cinco enfoques matemáticos diferentes, desde mi primer intento, que tomó una media ponderada de una pequeña muestra de luz a lo largo del tiempo, hasta el enfoque final de udrv, que utiliza un segmento de espaciotiempo con forma de hiperborde. Creo que los cinco acabaron dando la misma respuesta. Todos dicen que la energía del sistema en el marco de un observador en movimiento es mayor que la energía de los fotones desnudos en el marco de reposo por un factor de $\gamma(1+\beta^2)$ cuando yo esperaría que el cambio fuera un factor de $\gamma$ solamente. Así que está bastante claro que la respuesta a esta pregunta no es arreglar las matemáticas. No importa cómo lo veas, las matemáticas son consistentes.

Así que la pregunta ahora es, ¿cómo puede esto tener sentido ¿Físicamente? ¿De dónde puede salir tanta energía? ¿Cómo puede conciliarse con el hecho aparente de que si estuviéramos impulsando partículas masivas en lugar de luz, la energía resultante sería menor?

Acabo imaginando el siguiente escenario. Digamos que tienes una reserva de electrones y positrones fríos, y cuando los liberas, los conviertes en rayos gamma que quedan atrapados en el resonador. (Sí, ya sé que es una exageración.) Si los conviertes en el marco de reposo, la energía de los fotones resultantes es igual a la energía de la masa de las partículas. Si primero impulsas las partículas a un marco en movimiento, su masa-energía aumenta en un factor de $\gamma$ y si luego los conviertes en fotones, la energía debe ser la misma. Pero si los conviertes en fotones en el marco de reposo y entonces cambiar a una vista en movimiento de esos fotones mientras están en el resonador, este hallazgo parece decir que acabas con más energía total que si conviertes partículas ya potenciadas. Esto es una paradoja.

¿Cómo lo resolvemos? ¿Cómo podemos demostrar que estas energías potenciadas que parecen diferentes son realmente las mismas, o demostrar que las energías que parecen iguales en el marco de reposo son en realidad diferentes, o demostrar que de alguna manera no es contradictorio que las dos tengan resultados contradictorios?

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La segunda respuesta de Udrv (la de la recompensa de +100) señala que el problema no sólo afecta a la luz, sino también a las partículas másicas atrapadas. Esto es cierto. Si modelamos partículas másicas atrapadas entre objetos que las hacen rebotar en el volumen encerrado, o si examinamos un volumen arbitrario en el que fluyen corrientes de partículas másicas desde direcciones opuestas (lo primero puede imaginarse como una cuerda en dos poleas, y lo segundo como dos barras que pasan a través de una caja abierta), obtenemos la misma paradoja. La masa que se mueve hacia delante contiene más partículas y pasa más tiempo en tránsito que la masa que se mueve hacia atrás, en un grado que aumenta con la velocidad relativa entre las masas que se mueven hacia delante y hacia atrás, llegando aparentemente a ser como la luz en el límite. Esta paradoja desaparece si se imaginan dos masas que permanecen totalmente encerradas en el volumen y la duración examinados, de modo que los grupos delantero y trasero tengan el mismo número de partículas.

Los dos escenarios (reflector frente a selección de una ventana a partir de un conjunto mayor de partículas que pasan) pueden considerarse equivalentes si se consideran en términos de flujo en los límites. Cada extremo tiene un número igual de partículas que pasan hacia dentro y hacia fuera en esa superficie, pero no una cantidad igual de energía, excepto en el marco de reposo.

En cualquier caso, tal y como están las cosas ahora, parece que la idea original -que la luz atrapada en un resonador es externamente equivalente a una masa de igual energía- debe ser falsa. ¿Es eso lo que la gente está concluyendo?

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Voy a intentar enmarcar la paradoja una última vez en términos lo más claros e inequívocos posible. La situación física representada en el experimento mental es bastante inverosímil en términos prácticos, pero plantearlo así es beneficioso, desde mi punto de vista, por la ausencia de distracciones potenciales.

El experimento mental en cuestión es el que he mencionado antes, en el que aniquilamos pares electrón-positrón dentro de un resonador. El montaje es el siguiente: tenemos $n$ electrones y $n$ positrones, que tienen una velocidad arbitrariamente pequeña entre sí. En algún momento, empiezan a colisionar y se aniquilan por parejas. La aniquilación se produce a un ritmo constante durante un tiempo finito $\Delta t$ . Por una asombrosa coincidencia, todas las aniquilaciones producen fotones que se dirigen paralelamente a un eje x determinado, la mitad de ellos en cada dirección. El resultado son dos haces emitidos en direcciones opuestas, cada uno con una potencia constante mientras dura (con un grado arbitrario de precisión), y que luego cesan simultáneamente.

Si observamos este experimento desde el marco de reposo de las partículas, cada electrón y positrón tiene una masa de 0,5110 MeV, y cada fotón emitido tiene esa misma energía. La energía total del sistema nunca cambia.

Ahora repetimos el experimento, salvo que esta vez ocurre entre un par de espejos de rayos gamma perfectamente reflectantes. Una vez más, todo se alinea casualmente en el eje x. La distancia entre los espejos es exactamente $c\Delta t$ lo que significa que los fotones reflejados de las primeras aniquilaciones llegan al centro justo cuando las últimas aniquilaciones están terminando. El resultado es que los fotones se desplazan continuamente en ambas direcciones sin interrupciones. El número y la energía de los fotones son exactamente los mismos que sin los espejos, sólo que están confinados en un volumen más pequeño. La energía total tampoco cambia.

Observemos ahora estos dos experimentos desde un punto de vista impulsado a una velocidad de ½ $c$ a lo largo del eje x. Primero, sin espejos. Antes de la aniquilación, cada electrón y positrón tiene ahora su masa aparente aumentada en un factor de $\sqrt{4/3}$ por lo que ahora pesan 0,59005 MeV. Después de la aniquilación, tenemos dos grupos de $n$ fotones, uno de ellos desplazado hacia el azul por un factor de $\sqrt{3}$ y el otro desplazado al rojo por $\sqrt{}$ resultando energías de 0,8851 y 0,2950 MeV, lo que suma 2 × 0,59005. De nuevo, el total no cambia.

Pero, ¿qué le parece al ½ $c$ observador con los espejos colocados? Una vez completada la aniquilación, tenemos $2n$ fotones, pero en lugar de estar divididos al cincuenta por ciento entre las frecuencias roja y azul, tenemos $1.5n$ fotones azules y sólo $0.5n$ rojos. Todos los cálculos que hemos hecho coinciden en que, con los espejos colocados, la energía total del sistema ya no es de 1,1801 MeV por par, sino de 1,4752 MeV por par. El promedio en el tiempo por fotón dice que el exceso está ahí, la integración del tensor de tensión dice que está ahí, la cuña espaciotemporal dice que está ahí, el balance de presión de medio volumen dice que está ahí... (para más detalles, véase el resto del hilo).

PERO ESTA ENERGÍA ADICIONAL NO PUEDE EXISTIR. No hay ninguna fuente para ella. Viene de ninguna parte, y si abres ambos extremos del resonador simultáneamente en el momento adecuado para dejar salir los fotones, se desvanece en la nada, volviendo a lo que vimos en el caso sin espejo. ¿Por qué nuestras matemáticas siguen diciendo que está ahí? No puede ser energía real, es claramente ilusoria en algún sentido. Entonces, ¿por qué vemos más de lo que realmente hay?

Answer 1

Actualización 1:

1) Nota añadida en la prueba : Las densidades de tensión-energía fotónica obtenidas a continuación de forma más o menos heurística son idénticas a las obtenidas en enfoques más rigurosos a partir del tensor de densidad de tensión-energía electromagnética.

2) La razón física por la que el argumento tensión-energía recupera el resultado de equilibrio detallado en el PO, pero no es equivalente a simplemente aumentar la energía-momento total, parece ser presión de radiación .

He aquí una forma más sencilla de verlo :

Como se observa en el resonador en reposo, el gas fotónico se encuentra en un estado estacionario macroscópico de densidad de energía total $2e_0 = 2 n_0\hbar\omega_0$ y la densidad de momento total $p_0c = 0$ con $n_0$ la densidad numérica del volumen para los fotones que se propagan en una dirección a lo largo del resonador. Sin embargo, a pesar de la densidad de momento nula, el gas de fotones también tiene una presión de radiación muy finita $\pi_0 = e_0$ lo que supone una contribución adicional a la densidad tensión-energía. Manteniendo sólo los componentes relevantes (tiempo $\mu=0$ y $\mu =1$ a lo largo del resonador y su dirección de movimiento), este último se lee entonces $$ T_0 = \left(\begin{array}{cc} 2e_0 & 0 \\0 & 2e_0\end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{cc} 2n_0\hbar\omega_0\ & 0 \\0 & 2n_0\hbar\omega_0 \end{array}\right) $$ Bajo un impulso de Lorentz al marco del observador externo por $$ \Lambda = \left(\begin{array}{cc} \gamma & \gamma\beta \\ \gamma\beta & \gamma \end{array}\right) $$ $T_0$ produce la densidad tensión-energía aumentada $T^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\;\alpha} \Lambda^\nu_{\;\beta} T_0^{\alpha\beta}$ o $$ T = \left(\begin{array}{cc} 2\gamma^2(1+\beta^2)e_0 & 4\gamma^2\beta n_0\hbar\omega_0 \\ 4\gamma^2\beta n_0\hbar\omega_0 & 2\gamma^2 (1+\beta^2)e_0\end{array}\right) $$ La densidad de energía, la densidad de momento y la presión de radiación en el marco del observador son entonces $$ e \equiv T^{00} = 2\gamma^2(1+\beta^2)e_0;\;\;\; pc = 4\gamma^2\beta e_0, \;\;\; \pi = 2\gamma^2(1+\beta^2)e_0 $$ y la energía total macroscópica y el momento total correspondientes se leen $$ E = \frac{L}{\gamma} 2\gamma^2(1+\beta^2)e_0 = 2\gamma(1+\beta^2) E_0, \;\;\; Pc = \frac{L}{\gamma} 4\gamma^2\beta e_0 = 4\gamma\beta E_0 $$ con $E_0 = Le_0 = Ln_0\hbar\omega_0$ . Este es el resultado detallado del balance OP.

Consulte : Si la presión de radiación en el marco del resonador fuera nula, tendríamos la densidad tensión-energía del resonador como $$ T'_0 = \left(\begin{array}{cc} 2n_0\hbar\omega_0\ & 0 \\0 & 0 \end{array}\right) $$ y el reforzado como $$ T' = \left(\begin{array}{cc} 2\gamma^2 n_0\hbar\omega_0 & 2\gamma^2\beta n_0\hbar\omega_0 \\ 2\gamma^2\beta n_0\hbar\omega_0 & 2\gamma^2\beta^2 n_0\hbar\omega_0 \end{array}\right) $$ Para las densidades aumentadas, esto significaría $$ e' \equiv T'^{00} = 2\gamma^2 e_0 ;\;\;\; p'c = 2\gamma^2\beta e_0, \;\;\; \pi' = 2\gamma^2\beta^2 e_0 $$ y macroscópicamente $$ E = \frac{L}{\gamma} 2\gamma^2 e_0 = 2\gamma E_0, \;\;\; Pc = \frac{L}{\gamma} 2\gamma^2\beta e_0 = 2\gamma\beta E_0 $$ Estos últimos se ven ahora como si se obtuvieran de potenciar la energía-momento total en el marco del resonador como un 4-vector, $$ E = \gamma(2E_0 +\beta P_0 c) = 2\gamma E_0, \;\;\; Pc = \gamma(P_0c + \beta 2E_0) = 2\gamma\beta E_0 $$ pero, por supuesto, no se aplican.

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Actualización 2: Con respecto a la conservación de la energía-momento

Ya lo tenemos $$ e^2 - p^2c^2 = 4 \gamma^4 [(1+\beta^2)^2 - 4\beta^2] e^2_0 = 4 \gamma^4 (1-\beta^2)^2 e_0^2 = (2 e_0)^2 $$ y en este sentido la densidad de energía-momento es localmente invariante bajo impulsos de Lorentz. Se puede objetar que $e^2 - p^2c^2 = (2 e_0)^2 \neq 0$ cuando uno esperaría ingenuamente que para los fotones $e^2 - p^2c^2 = 0$ . Pero esto se debe a que la densidad de energía-tensión total ya no registra las densidades de momento de los fotones hacia delante y hacia atrás por separado. Cuando consideramos las densidades de tensión-energía separadas para los fotones hacia adelante y hacia atrás se puede comprobar que $$ e_\pm^2 - p_\pm^2 c^2 = e_0^2 - p_0^2c^2 = 0 $$ como deberían, y de nuevo las densidades de energía-momento son localmente invariantes.

El principal problema, sin embargo, es que no puede decirse lo mismo de la contraparte de volumen finito, ya que $E^2 -P^2c^2 \neq (2E_0)^2$ . Pero la densidad tensión-energía satisface una ley de conservación covariante, $\partial_\mu T^{\mu\nu} =0$ que funciona como siempre: lo que entra en un volumen infinitesimal de espacio-tiempo, en todas las direcciones, es igual a lo que sale. La versión de 4 volúmenes finitos garantiza que el flujo de energía-momento a través de los límites tridimensionales de cualquier 4 volumen es nulo. En particular, garantiza que el 4-momento total es un invariante de Lorentz en hiperplanos de tiempo constante correspondientes a diferentes observadores (la forma elegante de decir "bajo impulsos").

A continuación se muestra que el resultado detallado del resonador de equilibrio también se deduce de la conservación de la tensión-energía.

Consideremos el tubo-mundo del resonador trazada en su propio marco de reposo y tomemos un trozo de este tubo-mundo delimitado por dos hiperplanos de tiempo constante (espacios 3D), $S_R$ para la estructura del resonador, $S_O$ para el marco del observador, y los lados temporales del mundo-tubo. El observador se mueve a la velocidad $-\beta c$ en esta vista. Los dos recortes del hiperplano situados en el interior del tubo del mundo corresponden al resonador observado en los momentos dados en los dos fotogramas. Por conveniencia, y sin falta de generalidad, elijamos el origen temporal común en el momento en que el extremo posterior del resonador pasa por el origen espacial común, y dejemos que los dos hiperplanos correspondan a $ct=0$ en ambos cuadros. La rebanada del tubo del mundo se simplifica entonces a una cuña, como en la figura.

Para esta disposición, la conservación de la tensión-energía implica que el 4-momento total del resonador en el observador $S_O$ debe ser (la transformada de Lorentz de) la suma del 4-momento total en $S_R$ más la contribución de la hipersuperficie temporal lateral $S_{RO}$ con la normal hacia el exterior, en la dirección x positiva (atención: las direcciones de las normales siguen el interruptor $-S_O + S_R + S_{RO} = 0 \rightarrow S_O = S_R + S_{RO}$ ). Este último se encuentra entre los tiempos propios $ct_1=0$ y $ct_2$ correspondiente al extremo delantero del resonador en el tiempo $ct_O = 0$ en el marco del observador, es decir, en $ct_O = 0 = \gamma(ct_2+\beta L)$ o $ct_2 = -\beta L$ . De hecho, el $S_R + S_{RO}$ Las contribuciones ascienden a $$ \tau^\mu = \int_0^L{dx \left( \bf{e}_{t} \cdot T \right)^\mu } + \int_{-\beta L}^0{ \left( \bf{e}_x \cdot T \right)^\mu} = \int_0^L{dx\; T^{\mu 0}} + \int_{-\beta L}^0{dt \; T^{\mu 1}} = L T^{\mu 0} + \beta L T^{\mu 1} $$ Su impulso de Lorentz al marco del observador da, para $T^{01} = T^{10} = 0$ , $T^{00} = T^{11} = 2n_0\hbar\omega_0 = 2e_0$ , $$ E = \gamma(\tau^0 + \beta \tau^1) = \gamma\left[ (L T^{00} + \beta L T^{01}) + \beta \left( L T^{10} + \beta L T^{11} \right) \right] = \gamma \left( L T^{00} + \beta^2 L T^{11} \right) = 2 \gamma (1 + \beta^2)E_0 $$ $$ Pc = \gamma(\tau^1 + \beta \tau^0) = \gamma\left[ (L T^{10} + \beta L T^{11}) + \beta \left( L T^{00} + \beta L T^{01} \right) \right] = \gamma \left( \beta L T^{11} + \beta L T^{00} \right) = 2 \gamma \beta E_0 $$ Se trata precisamente de los mismos valores obtenidos anteriormente.

Lo realmente interesante es que lo que antes se identificaba como la contribución de la presión de radiación, ahora se ve que surge enteramente de la presión de tipo temporal $S_{RO}$ y, por tanto, aparece como un efecto dinámico. Y aunque con la elección actual de la cuña mundo-tubo estos términos se producen asimétricamente en el espejo frontal, desplazando el $S_O$ hiperplano en otro momento muestra que representan una diferencia de contribuciones de ambos espejos.

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Respuesta original :

Creo que todo se reduce al hecho de que la energía-momento de un cuerpo extendido, $P^\mu$ debe calcularse a partir de su densidad tensión-energía $T^{\mu\nu}$ que es un tensor, no un vector 4, y se comporta de manera diferente bajo transformaciones de Lorentz: $$ T^{\mu\nu} \rightarrow \Lambda^\mu_{\;\alpha} \Lambda^\nu_{\;\beta} T^{\alpha\beta} \;\;\;\text{vs.}\;\;\; P^\mu \rightarrow \Lambda^\mu_{\;\alpha} P^\alpha $$ La idea general es que, por analogía con un "polvo" de partículas masivas, las densidades de tensión-energía para los fotones que viajan hacia delante y hacia atrás son de la forma $$ T_\pm^{\mu\nu} \sim p_\pm^\mu p_\pm^\nu \equiv p_\pm \otimes p_\pm $$ donde $p_\pm^\mu$ son las correspondientes densidades de 4 momentos. Sumando las componentes hacia delante y hacia atrás se obtiene $$ T^{\mu\nu} \sim p_+^\mu p_+^\nu + p_-^\mu p_-^\nu \\ \neq (p_+^\mu + p_-^\mu) (p_+^\nu + p_-^\nu) = p^\mu p^\nu $$ En otras palabras, si en el marco de reposo tenemos $$ T_0^{\mu\nu} \sim p_{0,+}^\mu p_{0,+}^\nu + p_{0,-}^\mu p_{0,-}^\nu $$ después de un impulso encontramos $$ T^{\mu\nu} \sim \left(\Lambda^\mu_\alpha p_{0,+}^\alpha\right) \left( \Lambda^\nu_\beta p_{0,+}^\beta\right) + \left(\Lambda^\mu_\alpha p_{0,-}^\alpha \right) \left(\Lambda^\nu_\beta p_{0,-}^\beta\right) $$ Por lo tanto, el simple aumento del 4-momento total no recupera la energía y el momento correctos en el nuevo marco, de ahí la aparente paradoja.

Cómo solucionar el problema :

1) Para evitar confusiones con los problemas de simultaneidad, divide el resonador en movimiento en finas láminas perpendiculares a su dirección de movimiento. Cada uno de estos cortes tendrá un tiempo propio ligeramente diferente, los situados hacia delante irán por detrás de los situados hacia atrás, pero lo importante es que el tiempo propio sea uniforme en cada corte. Calcula la densidad tensión-energía de un corte arbitrario.

2) En cualquier fotograma dado, integrar las componentes de tensión-energía relevantes a lo largo de todo el resonador para obtener la energía total y el momento total.

3) Al transformar de un fotograma a otro, aumente la densidad tensión-energía mediante la transformada tensorial, y sólo entonces integre para la energía y el momento totales.

Encontrar la densidad tensión-energía :

Para un "polvo" masivo, la densidad tensión-energía es la siguiente $$ T^{\mu\nu} = p^\mu J^\nu $$ donde $p^\mu$ es el 4-momento del "polvo" y $J^\nu$ el 4-flujo de partículas. Para seguir esta analogía, elijamos un trozo de resonador, situado en el marco de reposo en $[x_0, x_0+dx_0]$ y teniendo volumen de reposo $dV_0$ . Digamos que en cada momento hay de media $dN_0$ fotones que lo atraviesan en cada dirección, cada uno de energía $\hbar \omega_0$ . La rebanada vista en su marco de reposo en el momento $ct_0$ será visible para el observador externo en $$ ct = \gamma(ct_0 + \beta x_0), \;\;\; x = \gamma(x_0 + \beta ct_0) $$ El número instantáneo de fotones que pasan a través de la rebanada potenciada en cualquier dirección es obviamente el mismo que en el fotograma de reposo, $dN_0$ pero las correspondientes densidades numéricas de fotones cambian debido a la contracción de la longitud del volumen como $$ n_0 = \frac{dN_0}{dV_0} \rightarrow n = \frac{dN_0}{dV} = \frac{dN_0}{dV_0/\gamma} = \gamma n_0 $$ Por tanto, las densidades numéricas no son escalares. Obsérvese, sin embargo, que como la rebanada es co-moving con el resonador, transporta un flujo de fotones $2n\vec{\beta}c$ respecto al observador externo. De hecho, por analogía con el "polvo" masivo, las densidades de corte y sus flujos son componentes de 4-vectores de flujo. Para un "polvo" masivo, el vector 4 de flujo es el siguiente $$ J^\mu = n_0 u^\mu $$ donde $u^\mu$ es la velocidad 4 del "polvo". Para nuestros fotones, la velocidad 4 no está bien definida, pero el flujo puede definirse de forma análoga utilizando la dirección ${\bar u}$ del 4-momento, dado por $p^\mu = (\hbar \omega/c) {\bar u}$ . Entonces, en el marco de reposo del resonador, los flujos de fotones hacia delante y hacia atrás deben ser (resonador a lo largo de $\mu = 1$ ) $$ J_{0, \pm}^\mu = n_0 c {\bar u}_\pm^\mu = n_0 (c, \pm c, 0, 0) $$ y tras el impulso al marco del observador se convierten en $$ J_+^\mu = \left( \;\gamma(J_{0, \pm}^0 + \beta J_{0, \pm}^1), \;\gamma(J_{0, \pm}^1 + \beta J_{0, \pm}^0), \;0, \;0 \right) = (1\pm\beta)\gamma n_0 \;(c, \pm c, 0, 0) $$

• Consulte : Dado que los 4 flujos son uniformes e independientes del tiempo, se integran trivialmente a lo largo del resonador para dar el número total de fotones que se propagan en las direcciones anterior y posterior como $$ N_\pm = \frac{L}{\gamma}\frac{J_\pm^0}{c} = \frac{L}{\gamma} (1 \pm \beta)\gamma n_0 = (1\pm \beta) L n_0 = (1\pm\beta) N_0 $$ de acuerdo con las estimaciones de los argumentos más simples de longitud-contracción. El recuento total de fotones es $N = N_+ + N_- = 2N_0$ como debería.

Para completar la analogía del "polvo", las densidades de tensión-energía para los fotones que se propagan hacia delante y hacia atrás se convierten en $$ T_\pm^{\mu\nu} = p_\pm^\mu J^\nu_\pm $$ Con la lectura de los 4-momentos desplazados Doppler hacia delante y hacia atrás $$ p_\pm^\mu = (\hbar \omega/c, \pm \hbar\omega/c, 0, 0) \equiv \gamma(1\pm \beta) (\hbar\omega_0/c) (1, \pm 1, 0, 0) $$ la densidad de tensión-energía total es entonces $$ T_\pm^{\mu\nu} = \gamma^2(1+\beta)^2 n_0\hbar\omega_0 \;[{\bf w}_+\otimes {\bf w}_+] + \gamma(1-\beta)^2 n_0\hbar\omega_0 \;[{\bf w}_-\otimes {\bf w}_-] $$ con ${\bf w}_\pm = (1, \pm 1, 0, 0)$ . Para un área de sección transversal de resonador unitaria, esto da la densidad de energía total del fotón y la energía total como $$ e = T^{00} = \gamma^2 \left[(1+\beta)^2 + (1-\beta)^2 \right] n_0\hbar\omega_0 = \gamma^2 (1 + \beta^2) (2 n_0 \hbar\omega_0) $$ $$ E = \frac{L}{\gamma} e = \frac{L}{\gamma} \gamma^2 (1 + \beta^2) (2 n_0 \hbar\omega_0) = 2\gamma (1 + \beta^2) E_0 \neq 2\gamma E_0 $$ para $E_0 = Ln_0\hbar\omega_0 = N_0\hbar\omega_0$ y la densidad de momento total del fotón y el momento total como $$ p^1c = T^{01} = \gamma^2 \left[(1+\beta)^2 - (1-\beta)^2 \right] n_0\hbar\omega_0 = \beta \gamma^2 (4 n_0 \hbar\omega_0) $$ $$ P^1c = \frac{L}{\gamma} p^1 = \frac{L}{\gamma} \beta \gamma^2 (4 n_0 \hbar\omega_0) = 4 \beta\gamma E_0 \neq 2\beta \gamma E_0 $$ Es decir, que el minucioso recuento de fotones ha merecido la pena después de todo.

Answer 2

Como no parece que haya más intentos hasta ahora, haré una última puñalada, en el contexto del problema de la aniquilación de partículas.

Respuesta corta : Como ya se ha sugerido en varios comentarios y en otra respuesta, la paradoja se resuelve cuando tenemos en cuenta las fuerzas restauradoras contra el gas, ya sean de las paredes del resonador o, si descartamos el resonador, del gas fuera del volumen físico considerado.

Pero no necesitamos invocar el trabajo bajo aceleración de ningún fotograma para hacer la cuenta .

Detalles :

Antes de nada, veamos todo esto desde el punto de vista de la cinética relativista (gases). En la formulación actual el gas de partículas antes de la aniquilación es básicamente un "polvo" en el que todas las partículas están en reposo en el marco de reposo del resonador. A diferencia del gas de fotones que produce, el "polvo" tiene presión nula y sus densidades de energía y momento se transforman bajo impulsos como las de las partículas individuales, o 4-vectores. En cambio, el gas fotónico tiene necesariamente una presión distinta de cero que contribuye de forma no trivial al tensor de energía y tensión en el marco del resonador y, por tanto, modifica la forma en que se transforman las densidades de energía y de momento en los impulsos, ahora como componentes del tensor de energía y tensión.

Supongamos, sin embargo, que mejoramos el gas inicial de partículas de un "polvo" sin presión a un gas ideal sin colisiones. La diferencia esencial entre un gas y un "polvo" es que el gas tiene una presión intrínseca distinta de cero $\Pi$ (asumo isotropía por simplicidad), mientras que el "polvo" no tiene presión, $\Pi=0$ . La presencia de la presión en un gas significa que las densidades de energía y de momento vuelven a ser meras componentes del tensor tensión-energía y se transforman en consecuencia bajo los impulsos. Entonces la presión del gas contribuye "naturalmente" a la energía y el momento potenciados, y lo hace exactamente de la misma manera que la presión de radiación contribuye a aumentar la energía y el momento del fotón gaseoso . Considerando sólo el tiempo y la coordenada de impulso, esto significa $$ T_0^{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cc}\rho c^2 & 0 \\0 & \Pi \end{array}\right) \;\; \rightarrow T^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\;\;\alpha} \Lambda^\nu_{\;\;\beta} T_0^{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cc}\gamma^2(\rho c^2 + \beta^2 \Pi) & \gamma^2\beta(\rho c^2 + \Pi) \\\gamma^2\beta(\rho c^2 + \Pi) & \gamma^2(\Pi + \beta\rho c^2 )\end{array}\right) $$ donde $\rho$ es la densidad de masa del gas en su marco de reposo. Ahora tenemos las densidades de tensión-energía tanto para el gas de partículas como para el gas de fotones en el mismo plano.

¿Resuelve esto la paradoja? Pues sí, y además facilita la localización de la fuente "espuria" de energía-momento.

Para el caso con resonador :

Declaración : Si suponemos todo encerrado en un resonador físico, entonces la energía-momento total de todo el sistema, gas + resonador, se transforma como un 4-vector y se conserva en el sentido regular. Es decir:

1) La energía-momento total del resonador más el gas de partículas inicial se conserva bajo impulsos.

2) La energía-momento total del resonador más el gas fotónico también se conserva bajo impulsos.

3) Visto desde cualquier fotograma, la energía-momento del resonador más el gas de partículas se conserva cuando las partículas se aniquilan en gas de fotones. Cualquier diferencia entre las densidades de tensión-energía del gas de partículas y las del gas de fotones se compensa automáticamente mediante una redistribución de tensiones dentro de las paredes del resonador.

Prueba : En los tres casos, las contribuciones de presión del gas se contrarrestan exactamente con las tensiones correspondientes en las paredes del recipiente. Para ver esto sigamos una idea del viejo volumen de Tolman sobre "Relatividad, Termodinámica y Cosmología". Consideremos una superficie plana $S_1$ que atraviesa el gas y el recipiente perpendicularmente a la dirección del movimiento, pero está cerrada por otra superficie arbitraria $S_2$ que se encuentra completamente fuera del contenedor. Esto puede hacerse igualmente bien en el marco de reposo del resonador o en un marco reforzado. En un marco reforzado se toma $S_1$ y $S_2$ para ser co-movimiento con el resonador.

Consideremos ahora la conservación de la energía-momento en el volumen 3D delimitado por $S_1 \cup S_2$ . Como tenemos un sistema estático y el contenido de energía-momento no cambia en el tiempo, los flujos totales correspondientes a través de $S_1 \cup S_2$ debe ser nulo. Pero esto implica que las tensiones (presiones) del gas más las tensiones de la pared del recipiente integradas en $S_1$ también debe ser nulo, porque $S_2$ está fuera del sistema y no puede contribuir.

Las integrales de tensiones nulas en la por lo demás arbitraria $S_1$ significan a su vez integrales de volumen nulas para las tensiones locales del sistema gas más recipiente . De nuevo, esto es válido tanto en el marco de reposo del contenedor como en cualquier marco potenciado. En un marco potenciado significa además que $$ \int_{\text{boosted resonator}}{dx \;\gamma^2(\rho_{\text{total}} c^2 + \beta^2 \Pi_{\text{total}})} = \int_{\text{boosted resonator}}{dx \;\gamma^2\rho_{\text{total}} c^2} = $$ $$ \int_{\text{rest resonator}}{\frac{dx_0}{\gamma}\; \gamma^2\rho_{\text{total}} c^2} = \gamma \int_{\text{rest resonator}}{dx_0 \;\rho_{\text{total}} c^2} $$ y de forma similar para el impulso total, que es lo que esperamos ver. Aquí $\rho_{\text{total}}$ y $\Pi_{\text{total}}$ se extienden para denotar la densidad de masa del gas y la presión en puntos dentro del gas, y la densidad de masa de la pared y la presión dentro de las paredes, mientras que $$ \int_{\text{boosted resonator}}{dx \;\Pi_{\text{total}} } = \left(\int_{\text{boosted gas}}{dx \;\Pi_{\text{gas}} } \right) + \left(\int_{\text{boosted resonator walls}}{dx \;\Pi_{\text{resonator walls}} }\right) = 0 $$ Obsérvese que el argumento hace uso explícito de la visión del gas de partículas. Lo mismo vale para el "polvo", pero el gas permite una generalización suave al caso de los fotones.

Alternativamente, podemos aplicar la versión de 4 volúmenes de la ley de conservación como en Actualización 2 de mi respuesta anterior y encontrar que en cualquier punto en el tiempo las tensiones en la pared del resonador hacen nula la contribución del gas en la superficie similar al tiempo $S_{RO}$ .

En cualquier caso, la conclusión es que para la energía total $E$ y el momento total $P$ tenemos la conservación relativista habitual, $$ \left[ (E_\text{resonator + particle gas})^2 - (P_\text{resonator + particle gas})^2\right] \Big|_{\text{rest frame} } = $$ $$ \left[ (E_\text{resonator + particle gas})^2 - (P_\text{resonator + particle gas})^2\right] \Big|_{\text{boosted frame} } = $$ $$ \left[ (E_\text{resonator + photon gas})^2 - (P_\text{resonator + photon gas})^2\right] \Big|_{\text{rest frame} } = $$ $$ \left[ (E_\text{resonator + photon gas})^2 - (P_\text{resonator + photon gas})^2\right] \Big|_{\text{boosted frame} } $$ siempre que se tenga en cuenta la redistribución de tensiones dentro del resonador.

Para el caso sin resonador :

Si descartamos por completo el resonador y nos limitamos a un volumen de gas en 3D, el gas permanece dentro del volumen debido a los flujos de partículas o fotones que atraviesan sus límites. En el caso de un gas ideal, los flujos llevan momento y equivalen a presiones o tensiones en los límites.

Esto se debe a que las ecuaciones de continuidad se mantienen como siempre, pero cualquier $S_1$ definida anteriormente debe estar cerrada por un $S_2$ que, al menos parcialmente, vuelva a intersectar el gas fuera del volumen considerado. Si tomamos $S_2$ para cortar el gas justo fuera del límite del volumen considerado, recogerá la presión del gas en el resto del espacio como fuerza de restauración contra la presión interior. Se aplica de nuevo el mismo razonamiento que para el caso del resonador, pero ahora las tensiones compensatorias las proporcionan los flujos de partículas y/o fotones a través de la superficie límite.

En la versión de 4 volúmenes, los términos límite se compensan de nuevo exactamente con la presión exterior.

Por tanto, la misma conclusión es válida, siempre que tengamos en cuenta adecuadamente los flujos/tensiones de frontera alrededor del volumen considerado: $$ \left[ (E_\text{particle gas + boundary counterpressure})^2 - (P_\text{particle gas + boundary counterpressure})^2\right]\Big|_{\text{rest frame} } = $$ $$ \left[ (E_\text{particle gas + boundary counterpressure})^2 - (P_\text{particle gas + boundary counterpressure})^2\right] \Big|_{\text{boosted frame} } = $$ $$ \left[ (E_\text{photon gas + boundary counterpressure})^2 - (P_\text{photon gas + boundary counterpressure})^2\right] \Big|_{\text{rest frame} } = $$ $$ \left[ (E_\text{photon gas + boundary counterpressure})^2 - (P_\text{photon gas + boundary counterpressure})^2\right] \Big|_{\text{boosted frame} } $$

Por qué la presión contribuye a la energía-momento total del gas :

Lo que queda en este punto es comprender por qué la presión del gas contribuye a la inercia general del gas, incluso en el caso de un gas fotónico. Que es donde reside otra ventaja de considerar un gas de partículas en lugar de un "polvo".

Observemos de nuevo el tensor tensión-energía del gas en el marco de reposo: $$ T_0^{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cc}\rho c^2 & 0 \\0 & \Pi \end{array}\right) $$ Si integramos $T_0^{00} = \rho c^2 $ sobre el volumen del gas obtenemos obviamente la masa total del gas. En un marco reforzado también habría densidades de momento $T_0^{01} = T_0^{10}$ e integrando estos se obtendría el momento total. Pero ¿qué obtenemos al integrar $T_0^{11} = \Pi$ ?

Suponiendo una presión uniforme y un volumen $V$ obtenemos $PV$ que no es más que el energía interna del gas debido a la energía cinética de sus partículas. Y en un gas relativista, la energía interna hace contribuyen a la transformación tensión-energía bajo impulsos (véanse estas Notas de clase para una derivación del tensor tensión-energía del gas a partir de la cinética relativista de partículas).

Del mismo modo, la presión de radiación corresponde a la energía interna del gas fotónico y, como tal, debe contribuir de nuevo a la energía y el momento del gas fotónico bajo impulsos.

Por otra parte, se trata de la misma energía interna del gas fotónico que se tiene en cuenta al deducir la ecuación de estado termodinámica en el contexto de la radiación de cuerpo negro. Lo confuso es que no se suele plantear en el caso de los resonadores, aunque la presión de radiación se ha utilizado durante mucho tiempo para crear trampas atómicas y pinzas ópticas, para manipular haces atómicos, etc.

A la inversa, ahora podemos utilizar el recuento de fotones de Paul para relacionar la energía aumentada y la presión de radiación con el desplazamiento Doppler :D

Answer 3

Me perdí en esta discusión hace un tiempo y realmente no puedo seguir la respuesta de @udvr (no porque piense que es incorrecta, más bien porque no tengo tiempo para estudiarla adecuadamente :( ). Así que esto probablemente no es una respuesta, pero se hizo un poco demasiado largo para un comentario.

Entiendo que la siguiente es una pregunta que aún no se ha resuelto (de la pregunta v23):

Acabo imaginando el siguiente escenario. Digamos que tienes una reserva de electrones y positrones fríos, y cuando los liberas, los conviertes en rayos gamma que quedan atrapados en el resonador. (Si los conviertes en el marco de reposo, la energía de los fotones resultantes es igual a la energía de la masa de las partículas. Si primero impulsas las partículas a un marco en movimiento, su masa-energía aumenta en un factor de $\gamma$ y si luego los conviertes en fotones, la energía debe ser la misma. Pero si las conviertes en fotones en el marco de reposo y luego aumentas la energía de los fotones mientras están en el resonador, este hallazgo parece decir que acabas con más energía total que si conviertes partículas ya aumentadas. Esto es una paradoja.

Creo que aquí hay dos procesos físicos distintos:

Situación 1: Observar la conversión de una partícula masiva en fotón en dos marcos diferentes. En el marco de reposo del resonador, la situación es clara: las partículas están en reposo y se dividen en fotones que tendrán la masa-energía de las partículas. En un marco en movimiento, todo el proceso también está claro (considerando una partícula masiva que se divide en dos fotones dirigidos en sentido opuesto a lo largo de la dirección de movimiento del resonador, para simplificar): un fotón se dispara en una dirección, el otro con un momento diferente en la otra dirección. Juntos tienen energía $\gamma m c^2$ . Todo esto es coherente.

Situación 2: Aceleración física ("boosting") del resonador. Por lo que veo esta es la situación que se ha considerado en la pregunta y en la respuesta de @udvr. Y en este caso no es de extrañar que ambas situaciones sean diferentes. Acelerar un fotón gaseoso requiere hacer más trabajo precisamente por la presión. Por tanto, la diferencia de energía proviene de que el proceso físico de aceleración es diferente.

Como he dicho, ni de lejos tengo una respuesta, pero espero que esto arroje algo de luz y no sea una completa tontería (si lo es, por favor, díganlo).

Answer 4

Este problema es equivalente al experimento mental original de Einstein con el centro de masa de una nave espacial tubular en un sistema de referencia inercial que emite un fotón por un extremo y lo reabsorbe por el extremo opuesto. Este es el mismo experimento mental que convenció a una audiencia de físicos newtonianos de que E=mc^2 mediante argumentos relacionados con el centro de masa.

Tanto si el fotón es absorbido como si es atrapado dentro de una cámara resonante (como una cavidad láser), e independientemente de su dirección de propagación, el fotón tiene momento (pero exclusivamente en su dirección de propagación lineal) por sí mismo. Para que el fotón tenga inercia "real" en más de una dirección, es necesario que la energía de ese fotón esté "ligada".

La única razón por la que una cámara resonante funciona para dar inercia a un fotón reflejado en una dirección distinta de la que se propaga inicialmente es porque la energía del fotón es absorbida y reemitida alternativamente desde los electrones internos a un sistema de superficies reflectantes que comparten la inercia de la cavidad resonante con los fotones reflejados.

Para responder a la pregunta:

Cualquier desplazamiento Doppler observado es relativo al estado de movimiento de un observador. En este caso, el observador también comparte la inercia del marco de reposo de la cavidad resonante. A pesar de la popular actualización de Wheeler del experimento mental original de Einstein basado en la misma geometría estática de la que abusó por primera vez Minkowski, el estado de movimiento relativo de la cavidad puede orientarse en cualquier dirección y los fotones siguen compartiendo la inercia del marco de laboratorio en reposo con respecto a toda la cavidad. En el marco del laboratorio, la cavidad está en reposo y no se observa en ella ningún desplazamiento Doppler, en ninguno de sus extremos, que sea resultado de la reflexión de los fotones. O dicho de otro modo, los fotones reflejados parecen tener la misma frecuencia después de la reflexión que tenían antes de ser reflejados. Para observar cualquier desplazamiento Doppler de los fotones dentro de la cavidad, el observador tendría que estar moviéndose con respecto a ella.